Handledning – Triangelsatsen

[latexpage]
Förkunskaper: Ma3 för Metod 1: Sinussatsen, cosinussatsen. Ma4 för metod 2: Additionssatsen och subtraktionssatsen.
Syfte: Öva triangelsatserna och trigonometriska formlerna.

Lösningsförslag inkl elevtips:
Metod 1 – med hjälp av sinussatsen och cosisnusatsen

$\frac{\sin\alpha}{a\,}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\gamma}{c}=>\frac{\sin\gamma}{\sin\beta}=\frac{c}{b}$

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\alpha=>2\cos\alpha=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{bc}$

$\frac{c}{b}=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{bc}=>bc^{2}=b(b^{2}+c^{2}-a^{2})=>c^{2}=b^{2}+c^{2}-a^{2}=>$

$b^{2}=a^{2}=>b=a=>$ triangeln är likbent

Metod 2 – med hjälp av triangelns vinklar och de trigonometriska formlerna

$\sin\gamma=\sin(180-(\beta+\alpha))=\sin(\beta+\alpha)=\sin\beta\cdot\cos\alpha+\cos\beta\cdot\sin\alpha$

$2\sin\beta\cos\alpha=\sin\beta\cos\alpha+\cos\beta\sin\alpha=>\cos\beta\sin\alpha-\sin\beta\cos\alpha=0$

$\sin(\alpha-\beta)=0=>\alpha=\beta=>$ triangeln är likbent