Handledning – Upptäck Mönster I En Trigonometrisk Ekvation

Emilia Ekstrand Handledning Ma4 20 februari, 2023 | 0

Förkunskaper: Ma 3: geometrisk summa. Ma 4: trigonometriska identiteter, trigonometriska ekvationer
Syfte: att öva trigonometriska ekvationer

Lösningsförslag inkl elevtips:
Summorna i täjlaren respektiv i nämnaren i den givna ekvationen kan beräknas med hjälp av en formel för en geometrisk summa.

Den geometriska summan $S_{n}= \frac{a_{1}(1 - k^{n})}{1 - k}$ kommer att närma sig $\frac{a_{1}}{1-k}$ då $n$ växer obegränsat och $k$ till sitt absolutbelopp är mindre än 1.

$\frac{\frac{1}{1+sinx}}{\frac{1}{1-sinx}}= \frac{1-cos2x}{1+cos2x}$ , $\frac{1-sinx}{1+sinx}= \frac{1-cos2x}{1+cos2x}$

$\frac{1-sinx}{1+sinx}= \frac{1- (1- 2sin^{2}x)}{1 + (1-2sin^{2}x)} =\frac{2sin^{2}x}{2\cdot (1-sin^{2}x)}= \frac{sin^{2}x}{(1-sinx)(1+sinx)}$

$1-sinx = \frac{sin^{2}x}{1-sinx}$

$(1-sinx)^{2}= sin^{2}x$

$sinx = \frac{1}{2}$ , $x = (-1)^{n}\cdot \frac{\pi}{6}+ \pi\cdot n$ , $n$ är ett heltal.

Svar: $x = (-1)^{n}\cdot \frac{\pi}{6}+ \pi\cdot n$ , $n$ är ett heltal.

Tips till elever:
Med vilken regel kan man beräkna den oändliga summan av trigonometriska termer i täjlaren resp i nämnaren i det vänstra ledet i den givna ekvationen? Beräkna summorna och förenkla det vänstra ledet i ekvationen. Använd formler för ”dubbla vinkeln” i det högra ledet.

Faktorisera nämnaren i högra ledet och förenkla ekvationen. Du kommer till en grundekvation för sinus.

Trigonometri

Handledning – Upptäck Mönster I En Trigonometrisk Ekvation

Handledning – Upptäck Mönster I En Trigonometrisk Ekvation

Kategori

Ämnesområde

Info

Material

Medverkande

MATTESHERPA