Handledning – XXX – MATTESHERPA

Handledning – XXX

Samuel Bengmark Handledning Ma2 Ma3 22 november, 2021 | 0

Förkunskaper: Ma2, Ma3
Sökord: Exponential, logaritm, olikhet, teknisk färdighet

Lösningsförslag inkl elevtips:
Svar: För $0<x<1$ och $1<x<2$ .

Metod 1: HL = $x^{x\cdot x}$

Alltså är uttrycket ekvivalent med

$\hspace{40}x^{(x^x)}<x^{x^2}$ .

Logaritmering ger

$\hspace{40}x^x \ln x < x^2 \ln x$

ty $\ln x$ växande, dvs

$\hspace{40}(x^x-x^2)\ln x <0$ .

Fall 1:
Låt $0<x<1$ . Då är $\ln x <0$ så påståendet är sant om och endast om

$x^x-x^2>0$ , dvs då $x^x>x^2$ . Ännu en logaritmering ger att detta är ekvivalent med att

$x\ln x>2\ln x$ . dvs omm $x<2$ . Alltså är det sant för alla värden på $x$ i detta fall.

Fall 2:
Låt $1<x$ . Då är $\ln x >0$ så påståendet är ekvivalent med $x^x<x^2$ . Logaritmering ger

$x\ln x< 2\ln x$ , vilket är sant omm $x<2$ . Alltså är påståendet sant för alla x med $1<x<2$ .

Fall 3: $x=1$ ger likhet och ingår därmed inte i mängden.