Handledning – XXX – EJ FÄRDIG

Handledning – XXX – EJ FÄRDIG

Förkunskaper: Ma3

Sökord: Exponential, logaritm, olikhet, teknisk färdighet

Syfte:

Lösningsförslag inkl. elevtips

Svar: För {0%3cx%3c1} och {1%3cx%3c2}.

Metod 1: HL = {x^{x\cdot x}}
Alltså är uttrycket ekvivalent med {\hspace{40}x^{(x^x)}%3cx^{x^2}}.

Logaritmering ger {\hspace{40}x^x \ln x %3c x^2 \ln x} %0aty {\ln x} växande, dvs {\hspace{40}(x^x-x^2)\ln x %3c0}.

Fall 1: Låt {0%3cx%3c1}. Då är {\ln x %3c0} så påståendet är sant om och endast om {x^x-x^2>0}, dvs då {x^x>x^2}. Ännu en logaritmering ger att detta är ekvivalent med att {x\ln x>2\ln x}. dvs omm {x%3c2} . Alltså är det sant för alla värden på {x} i detta fall.

Fall 2: Låt {1%3c x}. Då är {\ln x >0} så påståendet är ekvivalent med {x^x%3cx^2}. Logaritmering ger {x\ln x%3c 2\ln x}, vilket är sant omm {x%3c2}. Alltså är påståendet sant för alla x med {1%3cx%3c2}.

Fall 3: {x=1} ger likhet och ingår därmed inte i mängden.