Warning: Use of undefined constant ‘support’ - assumed '‘support’' (this will throw an Error in a future version of PHP) in /customers/e/6/1/mattesherpa.se/httpd.www/local/config.php on line 217 Warning: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /customers/e/6/1/mattesherpa.se/httpd.www/local/config.php:217) in /customers/e/6/1/mattesherpa.se/httpd.www/pmwiki.php on line 1317 mattesherpa.se | Handledning / AlternativaSättAttAngeVinklar
Senaste ändringarna - Sök:

Admin tool

Info

Material

För intresserade

Medverkande

För medlemmar

edit SideBar'sIYOAx<'">cMBsfP

AlternativaSättAttAngeVinklar

Handledning till uppgift AlternativaSättAttAngeVinklar som har följande formulering:

Uppgift

Vi har idag flera olika sätt att ange vinklar. De två vanligaste är grader och radianer. Ingen av dessa är förutbestämd utan handlar om val som människan gjort. Låt oss definiera ett alternativt sätt att ange vinklar där vi låter den räta vinklen vara enheten som vi kallar 1 rät och betecknar 1.

  1. Ange vinkeln 225o i de två andra systemen, dvs i radianer och enheten rät.
  2. Beräkna längden av cirkelbåge i en cirkel med radien r då cirkelbågens centrumvinkel är \alpha^o, \alpha radianer samt slutligen \alpha^\perp.
  3. Beräkna \sin(\pi^\perp).
  4. Det gäller att \frac{\sin x}{x} går mot 1 när x går mot 0 under förutsättningen att x anges i radianer. Vad har \frac{\sin x}{x} för gränsvärdet då x går mot 0 om \alpha anges i grader eller i räta?
  5. Vi vet att \frac{d}{dx}cos(x)=\sin x om x anges i radianer. Beräkna derivatan av cos(x^o) och cos(x^\perp), dvs då vinkeln anges i grader och räta.
  6. Vad är de individuella fördelarna och nackdelarna med dessa tre olika sätt att ange vinklar?

Förkunskaper

MaD, grundläggande trigonometri

Syfte

Bearbeta frågan om varför radianer finns som mått på vinklar och vad dess fördelar är.

Lösningsförslag inklusive elevtips

1.
Eftersom ett helt varv motsvarar 360o, 4 eller 2\pi radianer får vi att

$\displaystyle 225^o=\frac 54\pi  \text{ radianer } =\frac 52^{\perp} \text{ eftersom } 225\frac{\pi}{180}=\frac 54\pi \text{ och } 225\frac{1}{90}=\frac 52$.

2.
I alla tre fallen gäller att vi skall multiplicera omkretsen 2\pi r med hur stor del \alpha är av ett helt varv. Vi får
* Grader: 2\pi r\frac{\alpha}{360}=r\alpha \frac{\pi}{180}
* Radianer: 2\pi r\frac{\alpha}{\pi}=r\alpha
* Räta: 2\pi r\frac{\alpha}{4}=r\alpha \frac{\pi}{2}.
3.
Man har egentligen tre olika funktioner från \mathbb{R}\rightarrow [-1,1], som vi för tydlighets skulle betecknar \sin^o, \sin^{\perp} och \sin beroende på om de beräknar sinusvärder för vinklar angivna i grader, räta respektive radianer. Sambanden är \sin^o(x^o)=\sin(x^o\frac{\pi}{180}) och \cos^{\perp}(x^{\perp})=\cos(x^{\perp}\frac{\pi}{2}).

Ser att \sin^{\perp}(\pi^{\perp})=\sin(\pi\frac{\pi}{2})=\sin(\frac{\pi^2}{2})\approx -0,9754.

4.
Vi vet att \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\sin h}{h}=1. Av detta följer att

$ \begin{array}{l} \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin^o h}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin(h\frac{\pi}{180})}{h}= \\ =(\text{Sätt  } k=h\frac{\pi}{180}, h \longrightarrow 0 \Rightarrow k \longrightarrow 0)= \lim_{k\rightarrow 0}\frac{\sin k}{k}\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{180}\end{array}$.

På samma sätt finner vi att

$\displaystyle \begin{array}{l} \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin^{\perp} h}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin(h\frac{\pi}{2})}{h}= \\ =(\text{Sätt } k=h\frac{\pi}{2}, h \longrightarrow 0 \Rightarrow k \longrightarrow 0) = \lim_{k\rightarrow 0}\frac{\sin k}{k}\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2} \end{array}$.

5.
För att beräkna derivatorna för funktionerna \sin^o \text{ och } \sin^{\perp} kan man använda kedjeregeln eller titta på differenskvoten. Väljer att visa båda dessa metoder på vars en av de två uppgifterna.

Med kedjeregeln: $\displaystyle \frac{d}{dx}\sin^{\perp}(x) = \frac{d}{dx}\sin(x\frac{\pi}{2}) = \cos(x\frac{\pi}{2})\frac{\pi}{2} = \cos^{\perp}(x)\frac{\pi}{2}$

Med differenskvot: $\displaystyle \frac{\sin^o(x+h)-\sin^o x}{h}=\cos^o(x+\frac h2)\frac{\sin^o\frac h2}{\frac h2}\longrightarrow \cos^o(x)\frac{\pi}{180}$

6.
En möjlig uppfattning är att varken grader eller radianer är speciellt uppenbart för nybörjaren, medan begreppet rät vinkel är absolut och relativt enkelt att definiera och visualisera. Dock observerar vi att enligt ovan är radianer det mått som ger kortast formler för både cirkelbåge och för derivering, dvs som inte innejåller några faktorer.

Nästa steg

Svårighets- och stimulansgrad

Vad ansåg eleven om uppgiftens svårighetsgrad? 0 stars Not rated yet

InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2])

Hur stimulerad blev eleven av uppgiften? 0 stars Not rated yet

InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2])

Hur mycket tid la eleven på uppgiften? 0 stars Not rated yet

InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2])
Redigera - Historik - Utskrift - Senaste ändringarna - Sök
Sidan senast ändrad 2019-01-21 15:06