Warning: Use of undefined constant ‘support’ - assumed '‘support’' (this will throw an Error in a future version of PHP) in /customers/e/6/1/mattesherpa.se/httpd.www/local/config.php on line 217 Warning: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /customers/e/6/1/mattesherpa.se/httpd.www/local/config.php:217) in /customers/e/6/1/mattesherpa.se/httpd.www/pmwiki.php on line 1317 mattesherpa.se | Handledning / BestämPolynomF1962-1
Senaste ändringarna - Sök:

Admin tool

Info

Material

För intresserade

Medverkande

För medlemmar

edit SideBar

BestämPolynomF1962-1

Handledning till uppgift BestämPolynomF1962-1 som har följande formulering:

Bestäm polynom

Bestäm alla polynom p sådana att

p(2x) = p'(x)\cdot p''(x).

Förkunskaper

MaC

Syfte

Se sambandet mellan derivata och grad på polynom. Träna problemlösning i allmänhet.

Lösningsförslag inkl elevtips

Elevtips: Undersök vilka gradtal som är möjliga.

Lösning: Om p är ett polynom av grad n så har p' grad n-1 och p'' grad n-2. Detta stämmer i alla fall om n är minst 2, vilket vi antar tills vidare. För att likhet ska gälla måste gradtalen vara lika varför

n = (n-1) + (n-2)= 2n-3

Vi löser ekvationen och får att n=3. Alltså måste p vara ett tredjegradspolynom (om n minst 2). Vi sätter

p(x)=ax^3+bx^2+cx+d, a \neq 0

och deriverar detta två gånger;

p'(x) = 3ax^2+2bx+c, p''(x) = 6ax+2b

Insättning i det ursprungliga sambandet ger

a(2x)^3+b(2x)^2+c(2x)+d  = (3ax^2+2bx+c) \cdot (6ax+2b)=

=18a^2x^3+18abx^2+(4b^2+6ac)x+2bc.

Identifiering av tredjegradskoefficienten ger

8a=18a^2

så a=4/9. På motsvarande sätt, genom att identifiera övriga koefficienter i ordning efter grad, får man att b=c=d=0.

Alltså är p(x) = \frac{4}{9}x^3.

Det återstår att undersöka fallen då p:s gradtal är 0 eller 1. Då är p''(x) = 0, så p(2x) och därmed p(x) är identiskt lika med noll.

Nästa steg

Vad kan sägas om vi tar bort förutsättningen att p ska vara ett polynom?

Svårighets- och stimulansgrad

Vad ansåg eleven om uppgiftens svårighetsgrad? 0 stars Not rated yet

InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2])

Hur stimulerad blev eleven av uppgiften? 0 stars Not rated yet

InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2])

Hur mycket tid la eleven på uppgiften? 0 stars Not rated yet

InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2])
Redigera - Historik - Utskrift - Senaste ändringarna - Sök
Sidan senast ändrad 2009-03-23 16:16