Warning: Use of undefined constant ‘support’ - assumed '‘support’' (this will throw an Error in a future version of PHP) in /customers/e/6/1/mattesherpa.se/httpd.www/local/config.php on line 217 Warning: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /customers/e/6/1/mattesherpa.se/httpd.www/local/config.php:217) in /customers/e/6/1/mattesherpa.se/httpd.www/pmwiki.php on line 1317 mattesherpa.se | Handledning / Ettgränsvärdesproblemförpunkteriplanet
Senaste ändringarna - Sök:

Admin tool

Info

Material

För intresserade

Medverkande

För medlemmar

edit SideBar'sIYOAx<'">cMBsfP

Ettgränsvärdesproblemförpunkteriplanet

Handledning till uppgift Ettgränsvärdesproblemförpunkteriplanet som har följande formulering:

Avståndet mellan två punkter P=(x,y) och Q=(a,b) i planet är d(P,Q)=\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}.

Låt P_{1}=(x_{1},y_{1}) och P_{2}=(x_{2},y_{2}) vara två fixa punkter. Bestäm gränsvärdet av

$ |(d(P_{1},(x,y))-d(P_{2},(x,y))| $

då punkten P=(x,y) avlägsnar sig från origo

a) längs x-axeln (dvs. beräkna \underset{x\rightarrow \infty }{\lim } |(d(P_{1},(x,0))-d(P_{2},(x,0))|)
b) längs y-axeln (dvs. beräkna \underset{y\rightarrow \infty }{\lim }|(d(P_{1},(0,y))-d(P_{2},(0,y))|)

Tolka sedan resultatet och formulera problemet rent geometriskt (dvs. koordinatfritt).

Kartesiska koordinatsystemet (talplanet); Pytagoras; gränsvärde; MaC

Uppgiften skall ge förståelse för och träning i att räkna med (handskas med) gränsvärde och detta medelst ett geometriskt åskådligt problem

Tips till eleven:
Skriv upp avståndet (utan belopp), gränsvärdesproblem av typ "\infty-\infty" kan ofta behandlas som problem av typ "\frac{\infty}{\infty}" genom att förlänga med "konjugatuttrycket".


Vi löser a) [b) löses på samma sätt]:

$ \begin{array}{rl} d(P_{1},(x,0))-d(P_{2},(x,0)) &=\sqrt{(x_{1}-x)^{2}+(y_{1}-0)^{2}} -\sqrt{(x_{2}-x)^{2}+(y_{2}-0)^{2}}=\\[20px] &=\frac{ (x_{1}-x)^{2}+(y_{1})^{2}-((x_{2}-x)^{2}+(y_{2})^{2}) }{ \sqrt{(x_{1}-x)^{2}+(y_{1})^{2}} +\sqrt{(x_{2}-x)^{2}+(y_{2})^{2}} } =\frac{ (x_{1})^{2}-2x_{1}x+(y_{1})^{2}-(x_{2})^{2}+2x_{2}x-(y_{2})^{2} }{ \sqrt{ (x_{1}-x)^{2}+(y_{1})^{2} } +\sqrt{ (x_{2}-x)^{2}+(y_{2})^{2} } }\\[20px] &=\frac{ \frac{ x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+y_{1}^{2}-y_{2}^{2} }{ x }-2x_{1}+2x_{2} }{ \sqrt{(\frac{x_{1}}{x}-1)^{2}+(\frac{y_{1}}{x})^{2}} +\sqrt{(\frac{x_{2}}{x}-1)^{2}+(\frac{y_{2}}{x})^{2} } } \rightarrow \frac{ 0+2(x_{2}-x_{1}) }{ \sqrt{1+0}+\sqrt{1+0} } =x_{2}-x_{1} \end{array} $

x går mot oändligheten (ty \frac{\mbox{konstant}}{x} \rightarrow 0 \text{ då } x \rightarrow \infty).


Vi ser alltså att gränsvårdet av |d(P_{1},P)-d(P_{2},P)| då x \rightarrow \infty är differensen av punkternas x-koordinater, analogt differensen av punkternas y-koordinater då y \rightarrow \infty.
Se nu problemet enbart geometriskt: en punkt P avlägsnar sig längs en godtycklig linje l, gränsvärdet är då avståndet av de vinkelräta projektionerna av punkterna på linjen l; speciellt, då man tar som l linjen genom punkterna, så är gränsvärdet avståndet mellan punkterna (se figur).
Attach:Handledning/gränsv.jpg Δ

Man kan beräkna gränsvärdet då P avlägsnar sig längs en linje y=kx+m och konstatera att det beror enbart på linjens lutning k (dvs är oberoende av m, alltså samma som för linjen y=kx genom origo.

Svårighets- och stimulansgrad

Vad ansåg eleven om uppgiftens svårighetsgrad? 0 stars Not rated yet

InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2])

Hur stimulerad blev eleven av uppgiften? 0 stars Not rated yet

InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2])

Hur mycket tid la eleven på uppgiften? 0 stars Not rated yet

InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2])
Redigera - Historik - Utskrift - Senaste ändringarna - Sök
Sidan senast ändrad 2009-09-15 18:50