Warning: Use of undefined constant ‘support’ - assumed '‘support’' (this will throw an Error in a future version of PHP) in /customers/e/6/1/mattesherpa.se/httpd.www/local/config.php on line 217 Warning: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /customers/e/6/1/mattesherpa.se/httpd.www/local/config.php:217) in /customers/e/6/1/mattesherpa.se/httpd.www/pmwiki.php on line 1317 mattesherpa.se | Handledning / LiggerPunktenInutiTriangeln
Senaste ändringarna - Sök:

Admin tool

Info

Material

För intresserade

Medverkande

För medlemmar

edit SideBar'sIYOAx<'">cMBsfP

LiggerPunktenInutiTriangeln

Handledning till uppgift LiggerPunktenInutiTriangeln som har följande formulering:

Ligger punkten inuti triangeln?

En triangel ligger i ett koordinatsystem och har sina hörn i punkterna \left( {x_1 ,y_1 } \right), \left( {x_2 ,y_2 } \right)och \left( {x_3 ,y_3 } \right)

Beskriv hur man, utan att rita någon figur, kan avgöra om en punkt \left ({x,y} \right) ligger inuti triangeln eller ej.

Förkunskaper

Trigonometriska summaformler. Areasatsen. Matematik D

Syfte

Uppnå insikter i begreppet orientering, kryssprodukt

Lösningsförslag inkl elevtips

Låt (a, b) och (c, d) vara punkter i ett koordinatsystem. Vi undersöker uttrycket ad - bc

Attach:Main/dsliggerpunk1.gif Δ

Man inser att \left( {a,b} \right) = \left( {r_1 \cos u,r_1 \sin u} \right)och \left( {c,d} \right) = \left( {r_2 \cos v,r_2 \sin v} \right) . Vi väljer v och u så att \left| {v - u} \right| \le \pi

Påstående: ad - bc > 0 om den minsta vridning som får linjen genom origo och (a, b) att sammanfalla med linjen genom origo och (c, d) är positiv.

ad - bc < 0 om den minsta vridning som får linjen genom origo och (a, b) att sammanfalla med linjen genom origo och (c, d) är negativ.

Bevis: ad - bc = r_1 \cos u \cdot r_2 \sin v - r_1 \sin u \cdot r_2 \cos v = = r_1 r_2 \left( {\cos u \cdot \sin v - \sin u \cdot \cos v} \right) = r_1 r_2 \sin \left( {v - u} \right) > 0 om v > u, d.v.s. om den minsta vridning som över för sträckan mellan origo och (a, b) i sträckan mellan origo och (c, d) är positiv. Vi inser även att ad - bc < 0 om v < u, d.v.s. om den minsta vridning som över för sträckan mellan origo och (a, b) i sträckan mellan origo och (c, d) är negativ.

Vi skall nu se hur man kan avgöra kan om origo, O, ligger innanför eller utanför triangeln med hörnen i P_1 :\left( {x_1 ,y_1 } \right) , P_2 :\left( {x_2 ,y_2 } \right)och P_3 :\left( {x_3 ,y_3 } \right). Vi inför av bekvämlighetsskäl följande definition: \left( {a,b} \right) \times \left( {c,d} \right) = ad - bc. Det innebär att P_1  \times P_2  = x_1 y_2  - x_2 y_1.

Attach:Main/dsliggerpunk2.gif Δ

I den vänstra figuren ovan ser vi nu att P_1  \times P_2, P_2  \times P_3 och P_3  \times P_1 alla är positiva. Exempelvis är den minsta vridning, som överför OP_1 i OP_2positiv.

I den högra figuren ovan ser vi nu att P_1  \times P_2, P_2  \times P_3 och P_3  \times P_1 alla är negativa. Exempelvis är den minsta vridning, som överför OP_1 i OP_2negativ.

Man inser att om man flyttar O över en av triangelns sidor, P_i P_k eller dess förlängning. Byter P_i  \times P_ktecken. Alltså gäller att P_1  \times P_2, P_2  \times P_3 och P_3  \times P_1

 alla är positiva eller alla är negativa om och endast om origo, O, ligger inuti triangeln. 

Vi skall nu undersöka villkoret för att punkten (x, y) ligger inuti triangeln. Vi förskjuter, translaterar, vår triangel längs vektorn \left( { - x, - y} \right)

Attach:Main/dsliggerpunk3.gif Δ

Vi ser att punkten (x, y) ligger inuti triangeln P_1 P_2 P_3 om och endast om O ligger i triangeln med hörnen \left( {x_1  - x,y_1  - y} \right), \left( {x_2  - x,y_2  - y} \right) och \left( {x_3  - x,y_3  - y} \right)vilket gäller om och endast om\left( {x_1  - x} \right)\left( {y_2  - y} \right) - \left( {x_2  - x} \right)\left( {y_1  - y} \right),\left( {x_2  - x} \right)\left( {y_3  - y} \right) - \left( {x_3  - x} \right)\left( {y_2  - y} \right)och \left( {x_3  - x} \right)\left( {y_1  - y} \right) - \left( {x_1  - x} \right)\left( {y_3  - y} \right)alla är > 0 eller alla är < 0.

Tips till eleven

a. Rita figuren

Attach:Main/dsliggerpunk1.gif Δ

b. Sätt \left( {a,b} \right) \times \left( {c,d} \right) = ad - bc. \left( {a,b} \right) \times \left( {c,d} \right)kallas kryssprodukten av (a, b) och (c, d).

c. Uttryck ad - bc i r_1 ,\;r_2 ,\;uoch v.

d. Använd formeln för \sin (v - u)

e. Visa att ad - bc > 0 om och endast om den minsta vridning som får linjen genom origo och (a, b) att sammanfalla med linjen genom origo och (c, d) är positiv.

f. Sök ett villkor för att origo ligger i en given triangel, P_1 P_2 P_3. Jämför tecknen på uttrycken P_1  \times P_2 , P_2  \times P_3 och P_3  \times P_1 när origo ligger inuti triangeln och när origo ligger utanför triangeln. (Om P_1 :\left( {x_1 ,y_1 } \right), P_2 :\left( {x_2 ,y_2 } \right) är P_1  \times P_2  = x_1 y_2  - x_2 y_1)

g. Sök ett villkor för att en godtycklig punkt ligger i en given triangel genom att förskjuta figuren så att du kan använda e. ovan.

Nästa steg

Svårighets- och stimulansgrad

Vad ansåg eleven om uppgiftens svårighetsgrad? 0 stars Not rated yet

InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2])

Hur stimulerad blev eleven av uppgiften? 0 stars Not rated yet

InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2])

Hur mycket tid la eleven på uppgiften? 0 stars Not rated yet

InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2])
Redigera - Historik - Utskrift - Senaste ändringarna - Sök
Sidan senast ändrad 2007-10-18 19:25