Warning: Use of undefined constant ‘support’ - assumed '‘support’' (this will throw an Error in a future version of PHP) in /customers/e/6/1/mattesherpa.se/httpd.www/local/config.php on line 217 Warning: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /customers/e/6/1/mattesherpa.se/httpd.www/local/config.php:217) in /customers/e/6/1/mattesherpa.se/httpd.www/pmwiki.php on line 1317 mattesherpa.se | Handledning / Minsta-Kvadrat-Metoden
Senaste ändringarna - Sök:

Admin tool

Info

Material

För intresserade

Medverkande

För medlemmar

edit SideBar'sIYOAx<'">cMBsfP

Minsta-Kvadrat-Metoden

Handledning till uppgift Minsta-Kvadrat-Metoden som har följande formulering:

Uppgift

Du har säkert gjort någon laboration i t.ex. fysik, där du skulle passa en kurva till en punktmängd. Om inte alla punkterna ligger på en enkel kurva får man ”kompromissa”, dvs göra en approximation. Olika personer kommer säkert att dra något olika kurvor till en och samma punktmängd. Därför behövs något slags regel för hur denna approximation skall gå till, annars får vi ju olika resultat beroende på vem som gör laborationen! En sådan regel är minsta-kvadrat-metoden. I generella fall kräver denna metod kunskaper över gymnasienivå, men vi ska titta på det specialfall då kurvan är en rät linje genom origo.

Antag att du har en punktmängd \begin{Bmatrix} (x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n}) \end{Bmatrix} och du vet att sambandet mellan y och x skall vara en proportionalitet, dvs y=kx, k konstant. Då är en passning av en linje y=kx enligt minsta-kvadrat-metoden ekvivalent med att bestämma k så att (kx_{1}-y_{1})^{2}+...+(kx_{n}-y_{n})^{2} blir så liten som möjligt. Gör detta för punktmängden \begin{Bmatrix} (2,2),(4,3),(6,5),(8,8) \end{Bmatrix}, och ange linjens ekvation! Jämför sedan med vad olika programvaror ger för resultat (funktionen finns bl.a. i Microsoft Excel).

Förkunskaper

MaB, bestämma minvärdet av kvadratiska polynom

Syfte

Förstå att det finns en metod bakom kurpassning (elever har frågat detta flera gånger, "Vi har gjort olika, vem har gjort rätt?")

Lösningsförslag inkl elevtips

Elevtips: Skriv kvadratsumman på förenklad form, ak^{2}+bk+c, och bestäm det värde på k som ger minimum. Lösningsförslag: Det är redan givet att grafen har ekvationen y=kx. Teckna kvadratsumman som funktion av k:

(2k-2)^{2}+(4k-3)^{2}+(6k-5)^{2}+(8k-8)^{2}

som förenklas till

120k^{2}-220k+107

Detta uttryck antar sitt minimivärde då k=\frac{11}{12}, vilket erhålls genom kvadratkomplettering eller användande av "formeln" för symmetrilinjens ekvation. Den bästa approximationen, enligt minsta-kvadrat-metoden, är alltså y=\frac{11x}{12}.

Anm: Observera att den metod som studeras här är något förenklad, möjligen känner man inte igen sig om man jämför med hur minsta-kvadrat-metoden beskrivs i litteraturen. I ovanstående specialfall gäller dock den metod vi tittat på.

Excell

Microsoft Excel, ger mycket riktigt ekvationen y = 0,9167x. För att ovanstående i Excel (som väl finns i de flesta skoldatorer) gör så här

  1. Mata in x-värdena i kolumn A, y-värdena i kolumn B.
  2. Markera cellerna och rita diagram. Välj diagramtyp "Punkt" och undertypen vars punkter inte är sammanfogade med linjer.
  3. Rita diagrammet. Högerklicka på en av punkterna och välj "Infoga trendlinje".
  4. Välj Typ "Linjär" och Alternativ "Ange skärning =0" samt "Visa ekvation i diagrammet".

Nästa steg

Svårighets- och stimulansgrad

Vad ansåg eleven om uppgiftens svårighetsgrad? 0 stars Not rated yet

InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2])

Hur stimulerad blev eleven av uppgiften? 0 stars Not rated yet

InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2])

Hur mycket tid la eleven på uppgiften? 0 stars Not rated yet

InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2])
Redigera - Historik - Utskrift - Senaste ändringarna - Sök
Sidan senast ändrad 2009-09-15 19:28