Warning: Use of undefined constant ‘support’ - assumed '‘support’' (this will throw an Error in a future version of PHP) in /customers/e/6/1/mattesherpa.se/httpd.www/local/config.php on line 217 Warning: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /customers/e/6/1/mattesherpa.se/httpd.www/local/config.php:217) in /customers/e/6/1/mattesherpa.se/httpd.www/pmwiki.php on line 1317 mattesherpa.se | Handledning / NärmevärdeTill960
Senaste ändringarna - Sök:

Admin tool

Info

Material

För intresserade

Medverkande

För medlemmar

edit SideBar'sIYOAx<'">cMBsfP

NärmevärdeTill960

Handledning till uppgift NärmevärdeTill960 som har följande formulering:

Närmevärde till \pi

Undersök talföljden a_n  = \sin \frac{\pi }{{2^n }} . a. Visa att a_n= \underbrace {\frac{1}{2}\sqrt {2 - \sqrt {2 + \sqrt {2 +  \ldots  + \sqrt 2 } } } }_{\left( {n - 1} \right){\rm{rottecken}}}

b. Man kan genom att definiera a_n rekursivt, d.v.s. skriva a_n som en funktion av a_{n - 1} , beräkna a_n med en grafräknare eller med ett kalkylprogram.

c. Bevisa att \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } 2^n a_n  = \pi samt använd detta för att med din räknare eller exempelvis med Excel beräkna närmevärden till π.

Förkunskaper

Trigonometriska formler. Matematik D

Syfte

Uppnå ökade färdigheter när det gäller trigonometriska formler samt att göra en beräkning av närmevärden till \pi med en rekursiv talföljd.

Lösningsförslag inkl elevtips

a. \cos 2x = \cos ^2 x - \sin ^2 x = 1 - 2\sin ^2 x ger

\sin \frac{x}{2} = \sqrt {\frac{{1 - \cos x}}{2}}  = \sqrt {\frac{{1 - \sqrt {1 - \sin ^2 x} }}{2}} om 0 < x \le \frac{\pi }{2} .

Det gäller därför att att a_n  = \sqrt {\frac{{1 - \sqrt {1 - a_{n - 1} ^2 } }}{2}}

Vi får: \sin \frac{\pi }{{2^3 }} = \sqrt {\frac{{1 - \sqrt {1 - \sin ^2 \frac{\pi }{{2^2 }}} }}{2} = } \sqrt {\frac{{1 - \sqrt {1 - \frac{1}{2}} }}{2}}  = \frac{1}{2}\sqrt {2 - \sqrt 2 }

\sin \frac{\pi }{{2^4 }} = \sqrt {\frac{{1 - \sqrt {1 - \sin ^2 \frac{\pi }{{2^3 }}} }}{2} = } \sqrt {\frac{{1 - \sqrt {1 - \left( {\frac{1}{2}\sqrt {2 - \sqrt 2 } } \right)^2 } }}{2}}  = \sqrt {\frac{{1 - \sqrt {1 - \frac{{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{4}} }}{2}} = \frac{1}{2}\sqrt {2 - \sqrt {2 + \sqrt 2 } }

Om vi definierar f(x) = \sqrt {\frac{{1 - \sqrt {1 - x^2 } }}{2}}

 får vi att

f\left( {\frac{1}{2}\sqrt {2 - \sqrt x } } \right) = \sqrt {\frac{{1 - \sqrt {1 - \left( {\frac{1}{2}\sqrt {2 - \sqrt x } } \right)^2 } }}{2}}  = \frac{1}{2}\sqrt {2 - \sqrt {2 + \sqrt x } } , vilket ger det önskade resultatet.

b. a_n  = \sqrt {\frac{{1 - \sqrt {1 - a_{n - 1} ^2 } }}{2}}

 Se a.

Genom att göra nedanstående har man beräknat de första talen i talföljden a_n

Attach:Main/dsnärmevärde1.GIF Δ

c. Vi utgår från det kända gränsvärdet \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1

\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } 2^n a_n= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sin \frac{\pi }{{2^n }}}}{{\frac{1}{{2^n }}}} = \pi \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sin \frac{\pi }{{2^n }}}}{{\frac{\pi }{{2^n }}}}= \pi  \cdot 1 = \pi

eftersom \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1

 Attach:Main/dsnärmevärde2.GIF Δ

Här ovan har vi beräknat 2^n a_nför n = 2, 3 och 4.

Tips till eleven

Härled formeln\sin \frac{x}{2} = \sqrt {\frac{{1 - \cos x}}{2}}  = \sqrt {\frac{{1 - \sqrt {1 - \sin ^2 x} }}{2}} . För vilka värden på x gäller formeln? Skriv a_n som funktion av a_{n - 1} . Beräkna a_n för några värden på n. Genom att visa att f\left( {\frac{1}{2}\sqrt {2 - \sqrt x } } \right) = \frac{1}{2}\sqrt {2 - \sqrt {2 + \sqrt x } } om f(x) = \sqrt {\frac{{1 - \sqrt {1 - x^2 } }}{2}} kan du förstå hur uttrycken för a_n successivt bildas.

c. Använd det kända gränsvärdet \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1

Nästa steg

Svårighets- och stimulansgrad

Vad ansåg eleven om uppgiftens svårighetsgrad? 0 stars Not rated yet

InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2])

Hur stimulerad blev eleven av uppgiften? 0 stars Not rated yet

InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2])

Hur mycket tid la eleven på uppgiften? 0 stars Not rated yet

InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2])
Redigera - Historik - Utskrift - Senaste ändringarna - Sök
Sidan senast ändrad 2007-05-17 09:59