Warning: Use of undefined constant ‘support’ - assumed '‘support’' (this will throw an Error in a future version of PHP) in /customers/e/6/1/mattesherpa.se/httpd.www/local/config.php on line 217 Warning: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /customers/e/6/1/mattesherpa.se/httpd.www/local/config.php:217) in /customers/e/6/1/mattesherpa.se/httpd.www/pmwiki.php on line 1317 mattesherpa.se | Handledning / PassareOchLinjal
Senaste ändringarna - Sök:

Admin tool

Info

Material

För intresserade

Medverkande

För medlemmar

edit SideBar'sIYOAx<'">cMBsfP

PassareOchLinjal

Handledning till uppgift PassareOchLinjal som har följande formulering:

En klassisk geometrisk verksamhet har varit att konstruera geometriska objekt med enbart passare och ograderad linjal (utan mätstreck). Pröva om du kan konstruera följande objekt.

  1. Givet en linje L1 och en punkt P utanför linjen, skapa en linje L2, genom punkten, parallell med L1.
  2. Givet en cirkel bestämd av två punkter, mittpunkten M och en punkt på randen T, konstruera cirkelns tangent i T.
  3. Givet en viss vinkel, halvera denna.

I tusentals år har man också försökt att tredela en vinkel med enbart passare och ograderad linjal. Att detta i allmänhet inte är möjligt bevisades av fransmannen Pierre Wantzel år 1837. Läs mer om hur Arkimedes tredelade vinklar med graderad linjal och flera andra geometriska konstruktionsproblem på http://www2.math.su.se/gemensamt/Arkimedes.html

Förkunskaper

Det underlättar att känna till hur man konstruerar en mittpunktsnormal och kopierar storleken av en vinkel, annars förklaras det i lösningsförslagen. Begreppet alternatvinkel förekommer också.

Överkurs: Hur definierar eleven/läroboken begreppen punkt, linje, parallell, cirkel, tangent, vinkel? Låt eleven jämföra med Euklides definitioner. ELEMENTA finns i engelsk översättning på Euclid's Elements Definitionerna finns i bok I och III. Översätt dem till svenska! (I:1,2,8,15-16,23, III:2)

Syfte

Att låta eleven prova på konstruktioner med passare och linjal. Något som tidigare var en stor, kanske den huvudsakliga delen av geometriundervisningen.

Lösningsförslag inkl elevtips

Uppgift 1 (Elementa I:#31) har flera lösningar, här följer några.
Tips: Variera gärna perspektivet med en lodrät/sned linje, punkten placerad under/vid sidan av linjen.

Metod I: Använd symmetri för att uppnå parallellitet. Konstruera en parallellogram med sidan på L1 och ett hörn i P.

  • Välj en punkt Q på L1 och rita en cirkelbåge med centrum i Q och med radien |PQ|. Bågen skär linjen L1 i punkten R.
  • Välj en godtycklig (valfri) punkt A på L och rita en ny cirkelbåge med centrum i A och med samma radie |PQ|. Bågen skär L1 i punkten B.
  • Rita en båge med centrum i B och radien |PR|. Kalla skärningspunkten mellan bågarna S.
  • Rita linjen L2 genom P och S
  • Eftersom QP||AS och |QP|=|AS| bildar QA och PS motstående sidor i en parallellogram. Linjen L2 genom P är parallell med L1.

Attach:Handledning/bild1.jpg Δ

Svante

Metod II: Konstruera en rektangel med ett hörn på samma avstånd från L1 som P.

  • Rita en cirkelbåge med centrum i P som skär linjen L1 i punkterna Q och R.
  • Konstruera mittpunktsnormalen till Q och R: Gör en cirkelbåge med centrum i Q och en cirkelbåge med samma radie och centrum i R. Drag linjen genom skärningspunkterna. Den kallas mittpunktsnormal, eftersom den är vinkelrät mot linjen genom Q och R och delar den mitt emellan Q och R.
  • Konstruera på samma sätt en ny mittpunktsnormal mellan två andra punkter längre bort längs linjen. Tag med passaren avståndet längs mittpunktsnormalen från linjen till P och avsätt (rita ut) det längs den andra mittpunktsnormalen från linjen till punkten S. PS bildar ena sidan av en rektangel med basen på L1.
  • Drag linjen L2 genom P och S. Linjen L2 går genom P och är parallell med L1.

Attach:Handledning/bild2.jpg Δ

David

Metod III: Utnyttja att lika stora alternatvinklar betyder parallella linjer.

  • Välj en punkt Q på L1. Drag linjen PQ.
  • Välj en annan punkt R på L1. Konstruera \angle QPS = \angle PQR, genom att slå en cirkelbåge med centrum i Q och radien QR. Kalla skärningen med linjen genom PQ för R1.
  • Rita en cirkelbåge med lika stor radie och centrum i P. Den skär PQ i R2.
  • Kalla punkten där denna cirkelbåge skärs av bågen med centrum i R2 och radien |RR1| för S.
  • Drag linjen L2 genom P och S.
  • Eftersom linjen PQ bildar alternatvinklarna PQR = QPS, så är PS parallell med QR och linjen L2 genom punkten P parallell med linjen L1.

Attach:Handledning/bild3.jpg Δ

Euklides

Uppgift 2 har också flera lösningar.
Tips: Rita cirkeln. Drag en linje genom M och T. Försök sedan konstruera tangenten.

Metod I: Mittpunktsnormal.

  • Drag linjen genom M och T. Konstruera en rät vinkel i T.
  • Avsätt (rita) avståndet |MR| från T till M1.
  • Mittpunktsnormalen till M och M1 är den efterfrågade tangenten, eftersom den går genom T och bildar rät vinkel med cirkelns radie MT.

Metod II: Konstruera två liksidiga trianglar.

  • Drag linjen genom M och T. Konstruera en rät vinkel i T.
  • Välj en punkt U och rita en cirkel med centrum i T och radien |TU|.
  • Markera V och W på cirkeln. |TU| = |UV| = |VW|.
  • Mittpunktsnormalen till punkterna V och W bildar rät vinkel med MT och går genom punkten T. (Varför?)

Attach:Handledning/bild4.jpg Δ
Uppgift 3
Tips: Hur kan du konstruera en bisektris? Tänk själv.

  • Rita en cirkelbåge med centrum i vinkelspetsen. Kalla skärningspunkterna med vinkelbenen P och Q.
  • Mittpunktsnormalen till sträckan PQ delar vinkeln mitt itu. (p.g.a. symmetri)

Attach:Handledning/bild5.jpg Δ

Nästa steg

  1. Visa något exempel på när en vinkel kan delas i tre lika delar. (ex: 90° eller 180°)
  2. Använd Arkimedes metod för att 3-dela en vinkel 0°< v < 90° (ex: 45°). Använd kanten på ett rutat A4 som linjal.
  3. Försök själv hitta en metod som fungerar för vinklar 90°< v < 180°. Mitt förslag: 3-dela (180°- v), konstruera en 60° vinkel och dra bort den tredelade vinkeln (180°- v)/3 = 60°- v/3. Andra lösningar efterlyses!
  4. Läs mer om den euklidiska geometrins ursprung. På Euclid's Elements finns hela Elementa (13 böcker) på engelska.
  5. Läs något om icke-euklidisk geometri. Tag reda på vad som händer om man förändrar Euklides 5:e axiom, det s.k. parallellpostulatet. Vem/Vilka upptäckte detta? När?

Svårighets- och stimulansgrad

Vad ansåg eleven om uppgiftens svårighetsgrad? 0 stars Not rated yet

InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2])

Hur stimulerad blev eleven av uppgiften? 0 stars Not rated yet

InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2])

Hur mycket tid la eleven på uppgiften? 0 stars Not rated yet

InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2])
Redigera - Historik - Utskrift - Senaste ändringarna - Sök
Sidan senast ändrad 2008-09-24 08:52