Warning: Use of undefined constant ‘support’ - assumed '‘support’' (this will throw an Error in a future version of PHP) in /customers/e/6/1/mattesherpa.se/httpd.www/local/config.php on line 217 Warning: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /customers/e/6/1/mattesherpa.se/httpd.www/local/config.php:217) in /customers/e/6/1/mattesherpa.se/httpd.www/pmwiki.php on line 1317 mattesherpa.se | Handledning / PeriodiskaDecimalutvecklingarOchBråk
Senaste ändringarna - Sök:

Admin tool

Info

Material

För intresserade

Medverkande

För medlemmar

edit SideBar

PeriodiskaDecimalutvecklingarOchBråk

Handledning till uppgift PeriodiskaDecimalutvecklingarOchBråk som har följande formulering:

Uppgift

Visa att varje tal som har periodisk decimalutveckling är ett rationellt tal, dvs kan skrivas som ett kvot av två heltal.

Förkunskaper

MaA, algebra

Syfte

Se samband mellan tal på decimal form och på bråkform. Öva manipulation av algebraiska uttryck.

Lösningsförslag inkl elevtips

Metod 1:

Om talet T har periodisk decimalutveckling med periodlängd n och där första perioden börjar vid decimal s, så får T\cdot 10^s\cdot 10^n samma decimalutveckling som T \cdot 10^s självt. Alltså blir T*10^s*10^n-T*10^s=M ett heltal. Löser man ut T finner man att \displaystyle T=\frac{M}{(10^n-1)10^s}.

Metod 2:

Bygger på observationen att

\frac 19 = 0,111111\cdots \frac 1{99} = 0,010101\cdots \frac 1{999} = 0,001001001001001\cdots \frac 1{9999} = 0,00010001000100010001\cdots osv

Nu kan varje P mellan 0 och 1 som har periodisk decimalutveckling med periodlängd n, och vars första period börjar vid första decimalen, skrivas som en linjärkombination av de n första talen av ovanstående typ tabell, dvs

P = k_1\frac 19 + k_2\frac{1}{99}+\cdots +k_n\frac{1}{\underbrace{9\cdots9}_{\mbox{n stycken}}}.

Detta ser man genom att man k_1 så att första decimalen i P-k_1\frac 19 blir 0. Då blir även första decimalerna i varje period 0. Sedan väljer man k_2 så att andra decimalen i P-k_1\frac 19 -k_2\frac 1{99} blir 0. Då blir alltså de två första decimalerna i varje period 0. Genom att fortsätta på detta vis kan man få alla decimaler att bli 0 och har då funnit talen k_i så att P = k_1\frac 19 + k_2\frac{1}{99}+\cdots +k_n\frac{1}{9\cdots9}.

Idén generaliseras sedan till tal med belopp > 1 och till tal med decimalutvecklingen som blir periodisk först efter ett tag. I det sista faller får förlänga T med lämplig 10 potens, precis som i Metod 1 ovan, för att får ett tal med decimalutveckling som är periodisk direkt från och med första decimalen.

Nästa steg

Svårighets- och stimulansgrad

Vad ansåg eleven om uppgiftens svårighetsgrad? 0 stars Not rated yet

InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2])

Hur stimulerad blev eleven av uppgiften? 0 stars Not rated yet

InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2])

Hur mycket tid la eleven på uppgiften? 0 stars Not rated yet

InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2])
Redigera - Historik - Utskrift - Senaste ändringarna - Sök
Sidan senast ändrad 2007-10-18 08:23