Warning: Use of undefined constant ‘support’ - assumed '‘support’' (this will throw an Error in a future version of PHP) in /customers/e/6/1/mattesherpa.se/httpd.www/local/config.php on line 217 Warning: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /customers/e/6/1/mattesherpa.se/httpd.www/local/config.php:217) in /customers/e/6/1/mattesherpa.se/httpd.www/pmwiki.php on line 1317 mattesherpa.se | Handledning / Phi
Senaste ändringarna - Sök:

Admin tool

Info

Material

För intresserade

Medverkande

För medlemmar

edit SideBar'sIYOAx<'">cMBsfP

Handledning till uppgift Phi som har följande formulering:

Uppgift

INLEDNING
Den här uppgiften handlar om det berömda talet Φ = \frac{\sqrt{5}+1}{2} resp. (likvärdigt) φ = \frac{\sqrt{5}-1}{2}; (Phidias-tal; förhållandet, resp. det reciproka förhållandet, i det gyllene snittet, den "gudomliga proportionen"). Talet Φ (phi) är jämte π (pi) ett av de viktigaste talen. I den här uppgiften skall du visa några egenskaper av Φ. Huvudsakligen är det en övning i bråkräkning.

Några egenskaper av Φ, φ :

1. Låt a, b vara godtyckliga positiva reella tal. Visa:
\frac{a+b}{b}=\frac{b}{a}\Rightarrow \frac{b}{a}=\phi
eller: \frac{a}{b-a}=\frac{b}{a}\Rightarrow \frac{b}{a}=\phi
eller: b^{2}-a^{2}=ab \Rightarrow \frac{b}{a}=\phi
Tolka resultatet geometriskt.

2. Visa: Φφ = 1; φ = Φ-1 = 1/Φ ; Φ= φ + 1 = 1/φ = 1/Φ + 1.

3. Visa \phi^{2}-\phi=\varphi^{2}+\varphi=\frac{1}{\phi^{2}}+\frac{1}{\phi}=\frac{1}{\varphi^{2}}-\frac{1}{\varphi}=1 .

Förkunskaper

Enkel algebra (bråkräkning); enkel geometri (rektangel). MaA. MaB. MaC.

Syfte

Träna att räkna med bråk och att lösa en kvadratisk ekvation genom att bekanta sig med (lära känna) gyllene snittet (talet Φ).

Lösningsförslag inkl elevtips

Börja med att rita upp sträckan med längd a + b och delsträckorna med längd b resp. längd a, b > a. Attach:phi3.jpg Δ

Första likheten \frac{a+b}{b}=\frac{b}{a} säger: förhållandet mellan sträckan med längd a + b till sträckan med längd b är samma som förhållandet mellan sträckan med längd b till sträckan med längd a, eller kort: hela sträckan a +b förhåller sig till den längre delsträckan b som den längre delsträckan till den kortare delsträckan a; den andra likheten \frac{a}{b-a}=\frac{b}{a} säger: (den längre) sträckan b förhåller sig till (den kortare) sträckan a som a till b - a (b - a då kortare än a);
den tredje likheten b 2 - a2 = ab kan tolkas med rektanglar med sidorna a, b och arean ab, resp. sidorna b - a och b + a och arean (b - a)⋅(b + a), eller differensen av arean av kvadraterna med sidorna a resp. b: Attach:phi4.jpg Δ Många fler intressanta samband (tolkningar) kan upptäckas, t.ex. har den skuggade rektangeln lika stor area som kvadraten med sidan a: b⋅(b - a) = a2.
Räkningarna:
1. Det är ett exempel på "lös en kvadratisk ekvation":
\frac{a+b}{b}=\frac{b}{a}\iff\frac{a}{b}+1=\frac{b}{a}\underset{ \text{multiplicera med }\frac{b}{a}}{\iff }1+\frac{b}{a}=\left( \frac{b}{a}\right)^{2}\iff\left(\frac{b}{a}-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4} \iff\frac{b}{a}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\Phi
(\ -\ \text{går inte ty } \frac{b}{a}>0).
Analogt fås de övriga påståenden:
\frac{a}{b-a}=\frac{b}{a}\iff a^{2}=b^{2}-ab\underset{\text{dela med }a^{2}}{\iff }1=\left( \frac{b}{a}\right) ^{2}-\frac{b}{a}
som ovan.
2. Det är exempel på bråkräkning och konjugatregeln x^{2}-y^{2}=\left( x+y\right) \left( x-y\right):
\phi \varphi =\frac{1}{4}\left( \sqrt{5}+1\right) \left( \sqrt{5}-1\right)=1.
\frac{1}{\phi }=\frac{2}{1+\sqrt{5}}=\frac{2\left(\sqrt{5}-1\right)}{\left(\sqrt{5}+1\right)\left(\sqrt{5}-1\right)}= \frac{2\left(\sqrt{5}-1\right)}{4}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\varphi= \frac{\sqrt{5}+1-2}{2}=\phi-1.
På samma sätt fås
\frac{1}{\varphi }=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{2\left(\sqrt{5}+1\right)}{\left(\sqrt{5}-1\right)\left(\sqrt{5}+1\right)}= \frac{\sqrt{5}+1}{2}=\phi=\frac{\sqrt{5}-1+2}{2}= \varphi+1\underset{\phi \varphi =1}{=}\frac{1}{\phi }+1.

Nästa steg

Kan du räkna med geometriska serier så kan du visa följande intressanta formler:
\sum\limits_{k=0}^{\infty }\varphi ^{k}=\frac{1}{1-\varphi}=\frac{1}{\varphi^{2}},~~\sum\limits_{k=0}^{\infty }k\varphi ^{k}=\frac{\varphi}{\left( 1-\varphi \right) ^{2}}=\frac{\varphi }{\varphi^{4}}=\frac{1}{\varphi ^{3}}, \sum\limits_{k=0}^{\infty }k^{2}\varphi^{k}=\frac{\varphi\left( 1+\varphi \right)}{\left( 1-\varphi\right)^{3}}=\frac{1}{\varphi^{6}}.

Svårighets- och stimulansgrad

Vad ansåg eleven om uppgiftens svårighetsgrad? 0 stars Not rated yet

InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2])

Hur stimulerad blev eleven av uppgiften? 0 stars Not rated yet

InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2])

Hur mycket tid la eleven på uppgiften? 0 stars Not rated yet

InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2])
Redigera - Historik - Utskrift - Senaste ändringarna - Sök
Sidan senast ändrad 2009-01-24 21:21