Phi

Uppgift

INLEDNING
Den här uppgiften handlar om det berömda talet $\phi = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ resp. (likvärdigt) $\varphi = \frac{\sqrt{5} – 1}{2}$; (Phidias-tal; förhållandet, resp. det reciproka förhållandet, i det gyllene snittet, den ”gudomliga proportionen”). Talet Φ (phi) är jämte π (pi) ett av de viktigaste talen. I den här uppgiften skall du visa några egenskaper av Φ. Huvudsakligen är det en övning i bråkräkning.

Några egenskaper av Φ, φ :

1. Låt a, b vara godtyckliga positiva reella tal. Visa:
$\frac{a+b}{b} = \frac{b}{a} \Rightarrow \frac{b}{a} = \phi$

eller: $\frac{a}{b-a} = \frac{b}{a} \Rightarrow \frac{b}{a} = \phi$

eller: $b^2 – a^2 = ab \Rightarrow \frac{b}{a} = \phi$
Tolka resultatet geometriskt.

2. Visa: 

$\phi \varphi = 1$;
$\varphi = \phi – 1 = \frac{1}{\phi}$;
$\phi = \varphi + 1 = \frac{1}{\varphi} = \frac{1}{\Phi} + 1$.

3. Visa

$ \phi^{2}-\phi=\varphi^{2}+\varphi=\frac{1}{\phi^{2}}+\frac{1}{\phi}=\frac{1}{\varphi^{2}}-\frac{1}{\varphi}=1 $.

[latexpage]