Warning: Use of undefined constant ‘support’ - assumed '‘support’' (this will throw an Error in a future version of PHP) in /customers/e/6/1/mattesherpa.se/httpd.www/local/config.php on line 217 Warning: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /customers/e/6/1/mattesherpa.se/httpd.www/local/config.php:217) in /customers/e/6/1/mattesherpa.se/httpd.www/pmwiki.php on line 1317 mattesherpa.se | Handledning / SnittMellanTvåKvadrater
Senaste ändringarna - Sök:

Admin tool

Info

Material

För intresserade

Medverkande

För medlemmar

edit SideBar'sIYOAx<'">cMBsfP

SnittMellanTvåKvadrater

Handledning till uppgift SnittMellanTvåKvadrater som har följande formulering:

Uppgift

En kvadrat med hörn i O=(0,0), A=(1,0), B=(,1,1) och C=(0,1) i xy-planet vrides vinkeln \theta kring hörnet O (origo). Beräkna arean av det område i den vridna kvadraten som ligger inom den ursprungliga kvadraten.

Förkunskaper

MaD

Syfte

Problemlösning inom geometri mha grundläggande trigonometri.

Lösningsförslag inkl elevtips

Svar: Finns flera förenklade svar, tex \tan(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}), \frac{\cos \theta}{1+\sin \theta} eller \frac{1-\sin\theta}{\cos\theta}, vilka alla är ekvivalenta.

Attach:vridenKvadrat.jpg Δ Steg 1: Rita figuren! Antag att kvadratens nya hörn är A', B', C' och O. Här ligger A' och C' på en cirkel kring O med radien 1, ( så att A'B' och C'B' är tangenter i A' resp C') och B' ligger på en cirkel kring O med radien \sqrt 2.

Steg 2: Antag att P är skärningspunkten mellan BC och B'A'. Sökt area är då arean av området OA'PC. Av symmetriskäl är trianglarna \triangleOA'P och \triangleOCP kongruenta så den sökta arean = 2(arean av \triangleOCP).

Steg 3: Metod 1: Vinklarna \wedgeB'OP=\wedgePOB=\frac{\theta}{2}, ty \wedgeB'OB =\theta. Då är vinklarna \wedgePOA'=\wedgeCOP=(\wedgeCOB')+(\wedgeB'OP)=(\frac{\pi}{4}-\theta)+\frac{\theta}{2}=\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}. Sökt area = 2|\triangle OPC|=2\frac{|OC|\cdot|CP|}{2}=\tan(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2})

Metod 2: Hörnet A' har koordinaterna (\cos\theta,\sin\theta). Linjen A'P har riktiningskoefficient k=-\frac{\cos\theta}{\sin\theta} ( ty OA' har riktningskoefficient \frac{\sin\theta}{\cos\theta}). Ekvationen för linjen A'P blir då y-\sin\theta=-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}(x-\cos\theta). Punkten P har y-koordinaten 1 och då finner vi att dess x-koordinat ges av:

$\begin{array}{l} x=\cos\theta+\frac{\sin\theta(\sin\theta-1)}{\cos\theta} =\frac{\cos^2\theta+\sin^2\theta-\sin\theta}{\cos\theta} =\frac{1-\sin\theta}{\cos\theta}=\\ =\frac{1-\sin^2\theta}{\cos\theta(1+\sin\theta)}=\frac{\cos^2\theta}{\cos\theta(1+\sin\theta)} =\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta} \end{array}$

varför sökt area =2\frac{|OC||CP|}{2}=\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta}.

Kontroll: $ \tan(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2})= \frac{\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2})}{\cos(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2})}= \frac{\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\theta}{2}-\cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{\theta}{2}} {\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\theta}{2}+\sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\theta}{2}}= \frac{\cos\frac{\theta}{2}-\sin\frac{\theta}{2}}{\cos\frac{\theta}{2}+\sin\frac{\theta}{2}}$

Vilket efter förläng med \cos\frac{\theta}{2}+\sin\frac{\theta}{2} ger

$ \frac{\cos^2\frac{\theta}{2}-\sin^2\frac{\theta}{2}}{\cos^2\frac{\theta}{2}+\sin^2\frac{\theta}{2}+2\cos\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}} =\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta} $

Nästa steg

Svårighets- och stimulansgrad

Vad ansåg eleven om uppgiftens svårighetsgrad? 0 stars Not rated yet

InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2])

Hur stimulerad blev eleven av uppgiften? 0 stars Not rated yet

InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2])

Hur mycket tid la eleven på uppgiften? 0 stars Not rated yet

InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2])
Redigera - Historik - Utskrift - Senaste ändringarna - Sök
Sidan senast ändrad 2009-09-12 22:23