Warning: Use of undefined constant ‘support’ - assumed '‘support’' (this will throw an Error in a future version of PHP) in /customers/e/6/1/mattesherpa.se/httpd.www/local/config.php on line 217 Warning: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /customers/e/6/1/mattesherpa.se/httpd.www/local/config.php:217) in /customers/e/6/1/mattesherpa.se/httpd.www/pmwiki.php on line 1317 mattesherpa.se | Handledning / TriangelMedMaximalArea
Senaste ändringarna - Sök:

Admin tool

Info

Material

För intresserade

Medverkande

För medlemmar

edit SideBar'sIYOAx<'">cMBsfP

TriangelMedMaximalArea

Handledning till uppgift TriangelMedMaximalArea som har följande formulering:

Triangel med maximal area

Vilken är den största area en triangel med omkretsen 2p kan ha?

Förkunskaper

Herons formel samt olikheten mellan aritmetiska och geometriska medelvärden. Matematik B.

Syfte

Lösningsförslag inkl elevtips

Vi tänker oss en triangel med sidlängderna a, b och c samt arean T. Vi har att

2p = a + b + c

Herons formel: T = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)}.

Olikheten mellan aritmetiska och geometriska medelvärden ger:

$\left( {xyz} \right)^{\frac{1}{3}}  \le \frac{{x + y + z}}{3} \Leftrightarrow xyz \le \left( {\frac{{x + y + z}}{3}} \right)^3 $

med likhet om och endast om x = y = z (vilket bevisas nedan). Detta ger:

T^2  = p(p - a)(p - b)(p - c) \le p\left( {\frac(p - a) + (p - b) + (p - c){3}} \right)^3 = p\left( {\frac{{3p - \left( {a + b + c} \right)}}{3}} \right)^3 = p\left( {\frac{{3p - 2p}}{3}} \right)^3  = \frac{{p^4 }}{{27}}

med likhet om och endast om p - a = p - b = p - c \Leftrightarrow a = b = c

Maximal area är \frac{{p^2 }}{{\sqrt {27} }}, inträffar om triangeln är liksidig.

Tips till eleven:

Använd att

2p = a + b + c

Herons formel: T = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)}

Olikheten mellan aritmetiska och geometriska medelvärden:

\left( {xyz} \right)^{\frac{1}{3}}  \le \frac{{x + y + z}}{3} \Leftrightarrow xyz \le \left( {\frac{{x + y + z}}{3}} \right)^3 med likhet om och endast om x = y = z.

Bevis av ovanstående olikheten mellan aritmetikt och geometriskt medelvärde av tre positiva tal.

$\left( {xyz} \right)^{\frac{1}{3}}  \le \frac{{x + y + z}}{3} \Leftrightarrow xyz \le \left( {\frac{{x + y + z}}{3}} \right)^3 $

för alla positiva tal x, y och z. Det gäller även att likhet råder om och endast om x = y = z. Man finner genom direkt uträkning att

$x^3  + y^3  + z^3  - 3xyz = \left( {x + y + z} \right)\left( {\left( {x - y} \right)^2  + \left( {x - z} \right)^2  + \left( {y - z} \right)^2 } \right)$.

Detta innebär att x^3  + y^3  + z^3  - 3xyz \ge 0 för alla positiva tal x, y och z med likhet endast om

$\left( {x - y} \right)^2  + \left( {x - z} \right)^2  + \left( {y - z} \right)^2  = 0 \Leftrightarrow x = y = z$.

Vi får:

$xyz \le \frac{{x^3  + y^3  + z^3 }}{3}$.

Om vi nu ersätter x med x^{\frac{1}{3}}, y med y^{\frac{1}{3}} och z med z^{\frac{1}{3}} får vi\left( {xyz} \right)^{\frac{1}{3}}  \le \frac{{x + y + z}}{3} med likhet endast om x = y = z.

Nästa steg

Svårighets- och stimulansgrad

Vad ansåg eleven om uppgiftens svårighetsgrad? 0 stars Not rated yet

InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2])

Hur stimulerad blev eleven av uppgiften? 0 stars Not rated yet

InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2])

Hur mycket tid la eleven på uppgiften? 0 stars Not rated yet

InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2])
Redigera - Historik - Utskrift - Senaste ändringarna - Sök
Sidan senast ändrad 2009-09-13 19:58