Warning: Use of undefined constant ‘support’ - assumed '‘support’' (this will throw an Error in a future version of PHP) in /customers/e/6/1/mattesherpa.se/httpd.www/local/config.php on line 217 Warning: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /customers/e/6/1/mattesherpa.se/httpd.www/local/config.php:217) in /customers/e/6/1/mattesherpa.se/httpd.www/pmwiki.php on line 1317 mattesherpa.se | Handledning / VinkelrätaPolynom
Senaste ändringarna - Sök:

Admin tool

Info

Material

För intresserade

Medverkande

För medlemmar

edit SideBar'sIYOAx<'">cMBsfP

VinkelrätaPolynom

Handledning till uppgift VinkelrätaPolynom som har följande formulering:

Vinkelräta polynom

Hör och häpna, man kan faktiskt definiera vinklar mellan polynom! I denna uppgift får du en lite försmak av hur detta kan gå till.

Iden kommer från situationen med vektorer i planet (dvs pilar i planet). Om u och v är två sådana pilar så skulle vi kunna definera ett tal u \cdot v = cos \alpha där \alpha är vinkeln mellan u och v om de utgår från samma punkt. (Anm. Den som känner till den normala skalärprodukten ser att definitionen ovan är olämplig , men den räcker för vinkelräthet).

Självklart gäller nu

u \cdot v = 0 precis då vektorerna är vinkelräta.

Låt p och q vara två polynom och definiera

p \cdot q = \int_{-1}^{1} p(x)q(x) dx

och BESTÄM ATT

p och q är vinkelräta precis då p \cdot q = 0.

a) Låt p_0(x) = 1 och bestäm ett förstagradspolynom p_1 som är vinkelrätt mot p_0. Hur många sådana polynom finns det förresten? Välj det enklaste till uppgift b).

b) Bestäm ett andragradspolynom p_2 som är vinkelrätt mot både p_0 och p_1. Hur många sådana polynom finns det? Vilket är enklast?

c) Polynomen som konstrueras på detta sätt kallas Legendrepolynom. Googla på dessa och ta reda på mer om dem. Är t.ex. ditt val av p_2 i b) samma som det tredje Legendrepolynomet. Varför eller varför inte?

Förkunskaper

MaD

Syfte

Lösningsförslag inkl elevtips

a) Låt p_1(x) = ax+b. Då får vi

p_0 \cdot p_1 = \int_{-1}^1 1 \cdot (ax+b) dx= [ax^2/2 + bx]_{-1}^1 = 2b.

Detta ska vara noll så b=0, medan a är godtyckligt. Det finns alltså oändligt många val av p_1. Det enklaste är kanske p_1(x )= x.

b) Låt p_2(x) = ax^2+bx+c. Villkoret p_0 \cdot p_2  =0 ger a/3+c=0 medan p_1 \cdot p_2  = 0 ger b=0. Ett val är således a=3, b=0 och c=-1 vilket ger

p_2(x) = 3x^2-1.

c) Här kan man kika

http://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_polynomials

Observera att det tredje Legendrepolynomet inte är samma som p_2 ovan.

Nästa steg

Svårighets- och stimulansgrad

Vad ansåg eleven om uppgiftens svårighetsgrad? 0 stars Not rated yet

InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2])

Hur stimulerad blev eleven av uppgiften? 0 stars Not rated yet

InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2])

Hur mycket tid la eleven på uppgiften? 0 stars Not rated yet

InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2]) InputLabel2($m[1], $m[2])
Redigera - Historik - Utskrift - Senaste ändringarna - Sök
Sidan senast ändrad 2009-01-02 14:26