Parameterpunkter
[latexpage]
Inledande teori
Som bekant är grafen till $ y=x $ en rät linje genom origo. Detta är dock inte det enda sättet att beskriva linjen. Ett av de övriga är s.k. parameterform, vilket innebär att vi beskriver $ x $ och $ y $ som funktioner av en fri variabel (parameter) $ t $. Parametern $ t $ måste inte nödvändigtvis stå för tiden, fast i denna övning gör den det. Om $ t $ får variera fritt och anta alla reella värden (vilket i fortsättningen underförstås), så beskriver ekvationssystemet
$ \left{\begin{cases} x=t\\ y=t \end{cases}\right. $
samma linje. Varje nytt värde på $ t $ ger en ny punkt på linjen.
På samma sätt beskriver
$ \left{\begin{cases} x=t\\ y=2t^{2} \end{cases}\right. $
parabeln $ y=2x^{2} $ i $ xy $-planet. Varje nytt värde på $ t $ ger en ny punkt på kurvan.
Uppgift
Nu till själva frågan. Två punkter rör sig i $ xy $-planet. Den första har läget
$ \left{\begin{cases} x=-3+t\\ y=-1+\frac{2}{3}t \end{cases}\right. $
den andra har läget
$ \left{\begin{cases} x=5-\frac{t}{2}\\ y=-1+\frac{t}{2} \end{cases}\right. $
vid tiden $ t $.
- Bestäm det minsta avståndet mellan punkterna och den tidpunkt då detta inträffar. Verifiera att det är ett minimumavstånd, på valfritt sätt.
- Båda punkterna rör sig utefter linjer. Bestäm ekvationerna för dessa linjer på formen $ y=kx+m $.
