Warning: Use of undefined constant ‘support’ - assumed '‘support’' (this will throw an Error in a future version of PHP) in /customers/e/6/1/mattesherpa.se/httpd.www/local/config.php on line 217 Warning: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /customers/e/6/1/mattesherpa.se/httpd.www/local/config.php:217) in /customers/e/6/1/mattesherpa.se/httpd.www/pmwiki.php on line 1317 mattesherpa.se | Main / PolynomMedRationelltNollställe
Senaste ändringarna - Sök:

Admin tool

Info

Material

För intresserade

Medverkande

För medlemmar

edit SideBar

PolynomMedRationelltNollställe

Uppgift

Bakgrund/inledning
Ett viktigt problem är att lösa en ekvation f (x) = 0 (att hitta "rötterna till f(x) = 0 " eller "nollställena till f "). Den här uppgiften handlar om polynomekvationer. Om f är ett polynom av grad 2 kan vi alltid beräkna rötterna:

Exempel 1
f(x) = x2 - 5x + 6 har nollställena x1 = 2, x2 = 3, observera att x2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).

Anmärkning
Det funkar alltid så: ett polynom av grad två kan skrivas som produkt av två polynom av grad ett:
f(x) = x2 + ax + b = (x - x1)(x - x2) där x1, x2 är f:s nollställen (här är a = -x1 - x2 och b = x1x2 ).

För att bestämma nollställen till ett polynom av högre grad hat man nytta av faktorsatsen:
Om x1 är nollställe till polynomet f(x) = an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x1 + a0 så är x - x1 faktor i f(x),
dvs. f(x) = (x - x1)g(x) för något polynom g(x).

Kan man alltså gissa ett nollställe x1 till f(x) så kan man dela f(x) med x- x1 och får då ett polynom g(x) av lägre gradtal; eventuellt kan man redan lösa g(x) = 0, annars försöker man igen att gissa ett nollställe osv..

Exempel 2
f(x) = x3 - 4x2 + x + 6 : kom på att -1 är en rot (f(-1) = 0 ), division av f(x) med x +1
(eller bättre: ansättningen x3 - 4x2 + x + 6 = (x + 1)(x2 + ax + b) ) ger
f(x) = x3 - 4x2 + x + 6 = (x + 1)(x2 - 5x + 6) = (x +1)(x - 2)(x - 3) (exempel 1).
Det kunde man ha fått direkt om man fortsatte att pröva och hittade f(-1) = f(2) = f(3) = 0, faktorsatsen ger ju att x + 1, x - 2, x - 3 då är faktorer i f(x)!
För polynom med heltalskoefficienter (alla ak, k = 0, 1,..., n är heltal) finns nu följande sats som tipsar om vilka tal man skall pröva (inte pröva). Uppgiften är att bevisa denna sats (en välkänd klassiker) och sedan tillämpa den på några problem. Det hjälper dig säkert att förstå satsen och att skriva ner ett bevis om du räknar problemen först.

Uppgift
Visa att om ett rationellt tal \frac{p}{q}, förkortat så långt som möjligt, är nollställe till polynomet
f(x) = an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x1 + a0 med heltalskoefficienter, a_{n}a_{0} \neq0,
så är p en faktor i a0 och q en faktor i an. Gäller omvändningen?

Diskutera:

  • Man kan tillåta a0 = p = 0, men då är det trivilialt, varför?
  • Behövs "\frac{p}{q} förkortat så långt som möjligt"? Var?
  • Ofta är an = 1, vad ger (hur lyder) satsen då?
  • Ett polynom med heltalskoefficienter behöver inte ha ett rationellt nollställe, ex.: x2 - 3.

Problem
Lös ekvationerna
a) x3 - 4x2 + x + 6 = 0 (ex 1 ovan, använd nu faktorsatsen).
b) 24x3 - 26x2 + 9x = 1.
c) 24x3 + 46x2 + 29x + 6 = 0.
d) 3x3 - x2 - x - 4 = 0.



Handledning

Redigera - Historik - Utskrift - Senaste ändringarna - Sök
Sidan senast ändrad 2009-09-15 06:04