Tredjegradsekvation

Uppgift

[latexpage]

Studera den allmänna tredjegradsekvationen

$ \displaystyle x^3+ax^2+bx+c=0 $.

(a) Gör substitutionen $ \small x=t+k $, och välj konstant $ \small k $ så att koefficienten för $ \small x^2 $ termen blir noll, dvs skriv ekvationen på formen

$ \displaystyle t^3+pt+q=0 $.

(b) Bevisa att

$ \displaystyle t=\sqrt[3]{\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}-\frac q2}-\sqrt[3]{\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}+\frac q2} $

är en lösning till tredjegradsekvationen

$ \displaystyle t^3+pt+q=0 $.