Handledning – SinCos
Förkunskaper: Ma4
Syfte: Träna deriveringsregler med obekanta funktioner, framför allt produktregeln och kedjeregeln. Se en möjlig definition av sin och cos som inte bygger på enhetscirkel.
Lösningsförslag inkl. elevtips
Tips:
a) Derivera likheten.
b) Antag att det finns två par, och
respektive
och
, av funktioner med egenskaperna i förutsättningen. Visa att
och
.
c) Visa att funktionen är konstant, dvs. enbart beror på y.
d) Derivera sambandet i c).
Lösning:
a) Derivera båda sidorna med avseende på x;
så är en konstant. Insättning av x=0 ger att denna konstant är 1.
b) Utifrån tipset ovan bildar vi och
. Observera att
.
Som i a) kan vi visa att är en konstant. Insättning av x=0 ger att denna konstant är 0, men då måste såväl
som
vara identiskt lika med 0. Slutsatsen blir då att det bara kan finnas ett par av funktioner med egenskaperna i uppgiftens förutsättning.
c) Vi bildar som i tipset och deriverar med avseende på x;
Alltså är f konstant map x. Insättning av x=0 ger då att så
. Med y = a+b och x=-a fås den sökta likheten.
d) Vi deriverar likheten från c) med avseende på x;
.
Nästa steg:
Gör ett alternativt bevis av likheterna i c) och d) genom att visa att vänsterleden och högerleden uppfyller samma derivatavillkor.
Fundera på hur man kan vara säker på att funktionerna och
existerar.