Handledning – SinCos

Handledning – SinCos

Förkunskaper: Ma4

Syfte: Träna deriveringsregler med obekanta funktioner, framför allt produktregeln och kedjeregeln. Se en möjlig definition av sin och cos som inte bygger på enhetscirkel.

Lösningsförslag inkl. elevtips

Tips:

a) Derivera likheten.
b) Antag att det finns två par, s och c respektive \hat{s} och \hat{c}, av funktioner med egenskaperna i förutsättningen. Visa att s - \hat{s} = 0 och c - \hat{c} = 0.
c) Visa att funktionen f(x) = s(-x)c(x+y) + s(x+y)c(-x) är konstant, dvs. enbart beror på y.
d) Derivera sambandet i c).

Lösning:
a) Derivera båda sidorna med avseende på x;

2s(x)s'(x) + 2c(x)c'(x)=2s(x)c(x)+2c(x)(-s(x)) = 0

s(x)^2 + c(x)^2 är en konstant. Insättning av x=0 ger att denna konstant är 1.


b) Utifrån tipset ovan bildar vi \bar{s} = s - \hat{s} och \bar{c} = c - \hat{c}. Observera att

\bar{s}'(x) = \bar{c}(x), \bar{c}'(x) = -\bar{s}(x), \bar{s}(0) = \bar{c}(0) = 0.

Som i a) kan vi visa att \bar{s}(x)^2 + \bar{c}(x)^2 är en konstant. Insättning av x=0 ger att denna konstant är 0, men då måste såväl \bar{s} som \bar{c} vara identiskt lika med 0. Slutsatsen blir då att det bara kan finnas ett par av funktioner med egenskaperna i uppgiftens förutsättning.


c) Vi bildar f som i tipset och deriverar med avseende på x;

-s'(-x)c(x+y)+s(-x)c'(x+y)+(-c'(-x))s(x+y) + c(-x)s'(x+y) = -c(-x)c(x+y)+s(-x)s(x+y)-s(-x))s(x+y) + c(-x)c'(x+y) = 0.

Alltså är f konstant map x. Insättning av x=0 ger då att f(x) = f(0) = s(0)c(0+y) + s(0+y)c(0) = s(y)s(y) = s(-x)c(x+y) + s(x+y)c(-x). Med y = a+b och x=-a fås den sökta likheten.


d) Vi deriverar likheten från c) med avseende på x;

s'(x+y) = s'(x)c(y) + s(y)c'(x) \Leftrightarrow c(x+y) = c(x)c(y) - s(x)s(y).

Nästa steg:
Gör ett alternativt bevis av likheterna i c) och d) genom att visa att vänsterleden och högerleden uppfyller samma derivatavillkor.

Fundera på hur man kan vara säker på att funktionerna s och c existerar.