Handledning – SinCos – EJ FÄRDIG
Förkunskaper: MaE
Syfte: Träna deriveringsregler med obekanta funktioner, framför allt produktregeln och kedjeregeln. Se en möjlig definition av sin och cos som inte bygger på enhetscirkel.
Lösningsförslag inkl. elevtips
Tips:
a) Derivera likheten.
b) Antag att det finns två par, {
} och {
} respektive {
} och {
}, av funktioner med egenskaperna i förutsättningen. Visa att {
} och {
}.\
c) Visa att funktionen {
} är konstant, dvs. enbart beror på y.
d) Derivera sambandet i c).\%0a> \%0a>
Lösning:
a) Derivera båda sidorna med avseende på x;\%0a> \%0a> {
}\%0a> \%0a> så {
} är en konstant. Insättning av x=0 ger att denna konstant är 1.\%0a> \%0a>
b) Utifrån tipset ovan bildar vi {
} och {
}. Observera att \%0a> \%0a> {
}.\%0a> \%0a> Som i a) kan vi visa att {
} är en konstant. Insättning av x=0 ger att denna konstant är 0, men då måste såväl {
} som {
} vara identiskt lika med 0. Slutsatsen blir då att det bara kan finnas ett par av funktioner med egenskaperna i uppgiftens förutsättning.\%0a> \%0a>
c) Vi bildar {
} som i tipset och deriverar med avseende på x;\%0a> \%0a> {
}%0a> \%0a> Alltså är f konstant map x. Insättning av x=0 ger då att {
} så {
}. Med y = a+b och x=-a fås den sökta likheten.%0a> %0a>
d) Vi deriverar likheten från c) med avseende på x;%0a> %0a> {
}.%0a> %0a> !!!Nästa steg%0a> %0a> Gör ett alternativt bevis av likheterna i c) och d) genom att visa att vänsterleden och högerleden uppfyller samma derivatavillkor.%0a> %0a> Fundera på hur man kan vara säker på att funktionerna {} och {} existerar.
