Handledning – SinCos – EJ FÄRDIG

Handledning – SinCos – EJ FÄRDIG

Förkunskaper: MaE

Syfte: Träna deriveringsregler med obekanta funktioner, framför allt produktregeln och kedjeregeln. Se en möjlig definition av sin och cos som inte bygger på enhetscirkel.

Lösningsförslag inkl. elevtips

Tips:

a) Derivera likheten.
b) Antag att det finns två par, {s} och {c} respektive {\hat{s}} och {\hat{c}}, av funktioner med egenskaperna i förutsättningen. Visa att {s - \hat{s} = 0} och {c - \hat{c} = 0}.\
c) Visa att funktionen {f(x) = s(-x)c(x+y) + s(x+y)c(-x)} är konstant, dvs. enbart beror på y.
d) Derivera sambandet i c).\%0a> \%0a>

Lösning:
a) Derivera båda sidorna med avseende på x;\%0a> \%0a> {2s(x)s'(x) + 2c(x)c'(x)=2s(x)c(x)+2c(x)(-s(x)) = 0}\%0a> \%0a> så {s(x)^2 + c(x)^2} är en konstant. Insättning av x=0 ger att denna konstant är 1.\%0a> \%0a>
b) Utifrån tipset ovan bildar vi {\bar{s} = s - \hat{s}} och {\bar{c} = c - \hat{c}}. Observera att \%0a> \%0a> {\bar{s}'(x) = \bar{c}(x), \bar{c}'(x) = -\bar{s}(x), \bar{s}(0) = \bar{c}(0) = 0}.\%0a> \%0a> Som i a) kan vi visa att {\bar{s}(x)^2 + \bar{c}(x)^2} är en konstant. Insättning av x=0 ger att denna konstant är 0, men då måste såväl {\bar{s}} som {\bar{c}} vara identiskt lika med 0. Slutsatsen blir då att det bara kan finnas ett par av funktioner med egenskaperna i uppgiftens förutsättning.\%0a> \%0a>
c) Vi bildar {f} som i tipset och deriverar med avseende på x;\%0a> \%0a> {-s'(-x)c(x+y)+s(-x)c'(x+y)+(-c'(-x))s(x+y) + c(-x)s'(x+y) = -c(-x)c(x+y)+s(-x)s(x+y)-s(-x))s(x+y) + c(-x)c'(x+y) = 0.}%0a> \%0a> Alltså är f konstant map x. Insättning av x=0 ger då att {f(x) = f(0) = s(0)c(0+y) + s(0+y)c(0) = s(y)} så {s(y) = s(-x)c(x+y) + s(x+y)c(-x)}. Med y = a+b och x=-a fås den sökta likheten.%0a> %0a>
d) Vi deriverar likheten från c) med avseende på x;%0a> %0a> {s'(x+y) = s'(x)c(y) + s(y)c'(x) \Leftrightarrow c(x+y) = c(x)c(y) - s(x)s(y)}.%0a> %0a> !!!Nästa steg%0a> %0a> Gör ett alternativt bevis av likheterna i c) och d) genom att visa att vänsterleden och högerleden uppfyller samma derivatavillkor.%0a> %0a> Fundera på hur man kan vara säker på att funktionerna {s} och {c} existerar.