Handledning – SinCos

[latexpage]

Förkunskaper: Ma4

Syfte: Träna deriveringsregler med obekanta funktioner, framför allt produktregeln och kedjeregeln. Se en möjlig definition av sin och cos som inte bygger på enhetscirkel.

Lösningsförslag inkl. elevtips

Tips:

a) Derivera likheten.
b) Antag att det finns två par, $s$ och $c$ respektive $\hat{s}$ och $\hat{c}$, av funktioner med egenskaperna i förutsättningen. Visa att $s – \hat{s} = 0$ och $c – \hat{c} = 0$.
c) Visa att funktionen $f(x) = s(-x)c(x+y) + s(x+y)c(-x)$ är konstant, dvs. enbart beror på y.
d) Derivera sambandet i c).

Lösning:
a) Derivera båda sidorna med avseende på x;

$2s(x)s'(x) + 2c(x)c'(x)=2s(x)c(x)+2c(x)(-s(x)) = 0$

så $s(x)^2 + c(x)^2$ är en konstant. Insättning av x=0 ger att denna konstant är 1.

b) Utifrån tipset ovan bildar vi $\bar{s} = s – \hat{s}$ och $\bar{c} = c – \hat{c}$. Observera att

$\bar{s}'(x) = \bar{c}(x), \bar{c}'(x) = -\bar{s}(x), \bar{s}(0) = \bar{c}(0) = 0$.

Som i a) kan vi visa att $\bar{s}(x)^2 + \bar{c}(x)^2$ är en konstant. Insättning av x=0 ger att denna konstant är 0, men då måste såväl $\bar{s}$ som $\bar{c}$ vara identiskt lika med 0. Slutsatsen blir då att det bara kan finnas ett par av funktioner med egenskaperna i uppgiftens förutsättning.

c) Vi bildar $f$ som i tipset och deriverar med avseende på x;

$-s'(-x)c(x+y)+s(-x)c'(x+y)+(-c'(-x))s(x+y) + c(-x)s'(x+y) = -c(-x)c(x+y)+s(-x)s(x+y)-s(-x))s(x+y) + c(-x)c'(x+y) = 0.$

Alltså är f konstant map x. Insättning av x=0 ger då att $f(x) = f(0) = s(0)c(0+y) + s(0+y)c(0) = s(y)$ så $s(y) = s(-x)c(x+y) + s(x+y)c(-x)$. Med y = a+b och x=-a fås den sökta likheten.

d) Vi deriverar likheten från c) med avseende på x;

$s'(x+y) = s'(x)c(y) + s(y)c'(x) \Leftrightarrow c(x+y) = c(x)c(y) – s(x)s(y)$.

Nästa steg:
Gör ett alternativt bevis av likheterna i c) och d) genom att visa att vänsterleden och högerleden uppfyller samma derivatavillkor.

Fundera på hur man kan vara säker på att funktionerna $s$ och $c$ existerar.