Handledning – SinCos

Förkunskaper: Ma4

Syfte: Träna deriveringsregler med obekanta funktioner, framför allt produktregeln och kedjeregeln. Se en möjlig definition av sin och cos som inte bygger på enhetscirkel.

Lösningsförslag inkl. elevtips

Tips:

a) Derivera likheten.
b) Antag att det finns två par, och respektive och , av funktioner med egenskaperna i förutsättningen. Visa att och .
c) Visa att funktionen är konstant, dvs. enbart beror på y.
d) Derivera sambandet i c).

Lösning:
a) Derivera båda sidorna med avseende på x;

så är en konstant. Insättning av x=0 ger att denna konstant är 1.

b) Utifrån tipset ovan bildar vi och . Observera att

.

Som i a) kan vi visa att är en konstant. Insättning av x=0 ger att denna konstant är 0, men då måste såväl som vara identiskt lika med 0. Slutsatsen blir då att det bara kan finnas ett par av funktioner med egenskaperna i uppgiftens förutsättning.

c) Vi bildar som i tipset och deriverar med avseende på x;

Alltså är f konstant map x. Insättning av x=0 ger då att så . Med y = a+b och x=-a fås den sökta likheten.

d) Vi deriverar likheten från c) med avseende på x;

.

Nästa steg:
Gör ett alternativt bevis av likheterna i c) och d) genom att visa att vänsterleden och högerleden uppfyller samma derivatavillkor.

Fundera på hur man kan vara säker på att funktionerna och existerar.