[latexpage]Förkunskaper: Ma4 Lösningsförslag inkl elevtips:a) Låt $p_1(x) = ax+b$. Då får vi $p_0 \cdot p_1 = \int_{-1}^1 1 \cdot (ax+b) dx= [ax^2/2 + bx]_{-1}^1 = 2b$. Detta ska vara noll så b=0, medan a är godtyckligt. Det finns alltså oändligt många val av $p_1$. Det enklaste är kanske $p_1(x )= x$. b) Låt $p_2(x) =…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma4. Sambandet mellan derivata och integral. Linearitet för integrering.Syfte: Få upptäcka partiell integration genom ett konkret exempel. Lösningsförslag inkl elevtips:Derivering med produktregeln ger $ D(xe^x) = D(x)e^x+xD(e^x) = e^x+xe^x $. Vi ser att $ xe^x $ dyker upp som en term i sin egen derivata. Flyttar över och får $ xe^x = D(xe^x)-e^x $.…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma3, integraler, inflexionspunkter. Translation av grafer.Syfte: Öva kreativ problemlösning/bevisföring Lösningsförslag inkl elevtips:Elevtips: Rita ett nytt koordinatsystem så att inflexionspunkten ligger i origo. Vad blir då kurvans respektive linjens ekvationer? Alternativt (mer formellt), låt $ \alpha $ vara inflexionspunktens $ x $-koordinat. Bilda funktionen $ g(x)=f(x+\alpha)-f(\alpha) $, vilket förskjuter (translaterar) kurvan så att inflexionspunkten hamnar…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Exponentialfunktionen; att kunna integrera; bestämd integral = area; Ma3 Syfte: Att förstå en något abstrakt text (definition av en funktion), kunna ”se” (rita) givna områden och beräkna arean av en punktmängd mellan ”x”-axeln och en kurva; dessutom att kunna hantera ”krångliga” uttryck, räkna med exponentialfunktionen. Vidare en bra gränsvärdesuppgift (derivata, kontinuitet). Lösningsförslag inkl elevtips:Rita…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma4Syfte: Lära sig hur man uppskattar summor med integraler. Lösningsförslag inkl elevtips:Förslag 1 Tips: Finn tal $T_n$ som ”kan räknas ut”, som uppfyller $T_n \leq S_n$ och sådana att $T_n \to \infty$ Lösning: För $n=1,2,4,8,16, \ldots, 2^m, \ldots $ gör vi följande uppskattningar, $S_1 = 1 + 0 \cdot 1/2$ $S_2 = 1 +…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Integralberäkningar. Ma3.Syfte: Att lösa en lite knepigare integraluppgift. Elevtips 1: Välj en godtycklig punkt $P = (z, z^2)$ och beräkna A. Elevtips 2: Pröva att använda de omvända funktionerna $x = f^-1(y)$ för att kunna lösa uppgiften. Lösningsförslag: $ A=\int_{0}^{z}(x^{2}-\frac{x^{2}}{2})dx = \frac{z^{3}}{6} $ För att kunna ta fram ett uttryck för $B$, så ’byter…
Läs mer
[latexpage]Primitiv till Heavisides stegfunktion? Heavisides stegfunktion ”H” definieras av $H(x) = 0 \textrm{ om } x < 0 \textrm{ och } H(x) = 1 \textrm{ om } x \geq 0$. Är det möjligt att bestämma en primitiv funktion till ”H”? Om ja, bestäm en sådan primitiv. Om nej, motivera varför det är omöjligt.
[latexpage]Förkunskaper: Ma3, Ma4.Syfte: Få större insikt om samband mellan derivator och primitiva funktioner. Lösningsförslag inkl elevtips:Vi bestämmer primitiv funktion F i intervallen $x > 0$ och $x<0$ var för sig först. Om $x < 0$ så är F(x)=C där C är någon konstant. Om $x > 0$ så är F(x)=x+D där D är någon konstant.…
Läs mer
[latexpage] Förkunskaper: Ma3 Syfte: Träna derivering och integrering. Lösningsförslag inkl. elevtipsa) Eftersom $B_1′ = 1 \cdot B_0 = 1$ så måste $B_1(x) = x+C$ för någon konstant C. Villkoret $\int_0^1 B_1(x) = 0$ ger $\int_0^1 (x+C) dx = [\frac{x^2}{2} +Cx]_0^1 = \frac{1}{2} + C = 0$ så $C=-1/2$ och $B_1(x) = x – \frac{1}{2}$. Vi…
Läs mer
Uppgift Låt $f(x)$ vara ett tredjegradspolynom med reella koefficienter. Rita graferna $y = f(x)$ och $y = kx + m$ så att linjen skär kurvan i inflexionspunkten och i ytterligare två punkter (på ömse sidor om inflexionspunkten). Visa att de båda områden som begränsas av kurvan och linjen har lika stora areor. [latexpage]
© 2021 MATTESHERPA. Byggt av Matematiska Vetenskaper
