[latexpage]Förkunskaper: Trigonometriska formler. Ma4. Rekursiva talföljder. Ma5. Syfte: Uppnå ökade färdigheter när det gäller trigonometriska formler samt att göra en beräkning av närmevärden till $\pi$ med en rekursiv talföljd. Lösningsförslag inkl elevtips:a. $\cos 2x = \cos ^2 x – \sin ^2 x = 1 – 2\sin ^2 x$ ger $\sin \frac{x}{2} = \sqrt {\frac{{1 –…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Enkel geometri: triangel, omskriven cirkel. MaA, MaB. Fermatpunkten (denna uppgift borde göras först). För tillägget behövs additionsteoremet för cosinus och cosinussatsen. Ma4. Syfte: Se Fermatpunkten. Lösningsförslag inkl elevtips:Vi betecknar omskrivna cirklarnas mittpunkter med MA, MB och MC och skärningspunkten mellan dessa tre cirklarna med P (det är Fermatpunkten), se figur. Sträckan mellan MB och…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma4: trigonometriska ettan, formler för dubbla vinkleln, ev. Kvadratkomplettering (Ma 2)Syfte: att öva trigonometriska formler Lösningsförslag inkl elevtips:Det minsta möjliga värdet för summan $ sin 4v + cos 4v$ kan bestämmas på två olika sätt : med derivatametoden eller med kvadratkomplettering. Vi kompletterar $ sin^{4}v + cos^{4}v $ med $ 2\cdot sin^{2}v \cdot cos^{2}v…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Man behöver kunna ”sinus”/”cosinus” för $60^o$ och additionsteoremet för ”sinus”, inga tips behövs. Ma4. Lösningsförslag inkl elevtips: Med beteckningarna enligt figur fås t. ex. $ \frac{b}{x}=sin(\alpha), \frac{a}{x}=sin(\frac{\pi}{3}-\alpha)\Rightarrow\frac{ab}{x}=asin(\alpha)=bsin(\frac{\pi}{3}-\alpha) $ $ \Rightarrow asin(\alpha)=b(sin(\frac{\pi}{3})cos(\alpha)-cos(\frac{\pi}{3})sin(\alpha)) $ $ \Rightarrow asin(\alpha)=b(\frac{\sqrt{3}}{2}cos(\alpha)-\frac{1}{2}sin(\alpha))\Rightarrow(2a+b)sin(\alpha)=\sqrt{3}bcos(\alpha) $ $ \Rightarrow tan(\alpha)=\frac{\sqrt{3}b}{2a+b} $ $\Rightarrow x=\frac{b}{sin(\alpha)}=\frac{b\sqrt{4a^{2}+4ab+4b^{2}}}{\sqrt{3}b}=\frac{2\sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}}{\sqrt{3}} $ $ sin(\alpha) $ fick vi med hjälp av en rätvinklig triangel:…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Trigonometriska summaformler. Areasatsen. Ma4Syfte: Uppnå insikter i begreppet orientering, kryssprodukt Lösningsförslag inkl elevtips:Låt (a, b) och (c, d) vara punkter i ett koordinatsystem. Vi undersöker uttrycket $ad – bc$ Man inser att $\left( {a,b} \right) = \left( {r_1 \cos u,r_1 \sin u} \right)$ och $\left( {c,d} \right) = \left( {r_2 \cos v,r_2 \sin v}…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma4: triangelsatser, cirkelsegmentets area.Syfte: Att öva geometriska och trigonometriska begrepp i areaberäkningar i sammansatta geometriska figurer Lösningsförslag inkl elevtips:Den gemensamma arean $ A $ är summan av fyra lika stora cirkelsegmentsareor MPN, NQK, KTL, LRM ( $ A_{1} $) och arean på en kvadrat MNKL $ A_{2} $. Triangeln $ ABN $ och triangeln…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma4Syfte: att få insikt i geometriska konstruktioner. Lösningsförslag inkl elevtips:a) Algebraisk lösning Arean av triangeln $ ACD $ är lika stor som arean av triangeln $ ABD $. Areasatsen ger ekvationen $$\frac{1}{2}\cdot AC \cdot AD \sin2a=\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin a $$ Ekvationen ger $$ \cos a = \frac{AB}{2 AC}.$$ Eftersom vinkeln…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: MaB Lösningsförslag inkl elevtips:Svar: $38,94^o, 70,53^o, 70,53^o$ Steg1: Antag att basen AB har längen |AB|=2r. ( Rita figur ) Steg 2: Antag att skärningspunketerna mellan halvcirkeln och traingelsidorna AC och BC är D respektive E med längderna (enligt förutsättningarna) |AD|=|DC|=a och |BE|=7b, |EC|=2b. Uppgift: Sök samband mellan a, b och r. Steg 3: Vinkeln…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma2: Pythagoras sats, begreppen parallelltransversal & likformighet. Ma3: areasatsenSyfte: att öva geometriska begrepp Lösningsförslag inkl elevtips:a) När en kvadrat vrids $ 45° $ kring sitt centrum bildas åtta lika stora rätvinkliga likbenta trianglar. Om en katet i en triangel har längden $ 1 $ l.e. blir hypotenusans längd $ \sqrt{2} $ l.e. b) Linjen…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma4. Summaformel för sinus.Syfte: Trigonometrisk formelmanipulation. Lösningsförslag inkl elevtips:a. Använd formeln $\sin (x – y) = \sin x\cos y – \cos x\sin y$ b. Man får $\frac{{\sin \left( {\beta – \gamma } \right)}}{{\sin \beta \sin \gamma }} + \frac{{\sin \left( {\gamma – \alpha } \right)}}{{\sin \gamma \sin \alpha }} + \frac{{\sin \left( {\alpha –…
Läs mer
© 2021 MATTESHERPA. Byggt av Matematiska Vetenskaper
