[latexpage]Förkunskaper: Ma4Syfte: Träna algebraiska manipulationer, derivera en kvot, se koppling mellan derivatans tecken och växande/avtagande, repetera defintionen av talet e Lösningsförslag inkl elevtips:En praktisk notation är $n^{n-1} ? (n-1)^n$ där vi alltså ska bestämma ? som ett olikhetstecken. Lösningsförslag 1 Tips: Logaritmera, stuva om och studera en lämplig funktion med avseende på växande/avtagande. Lösning: Fallet…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Trigonometriska formler. Ma4. Rekursiva talföljder. Ma5. Syfte: Uppnå ökade färdigheter när det gäller trigonometriska formler samt att göra en beräkning av närmevärden till $\pi$ med en rekursiv talföljd. Lösningsförslag inkl elevtips:a. $\cos 2x = \cos ^2 x – \sin ^2 x = 1 – 2\sin ^2 x$ ger $\sin \frac{x}{2} = \sqrt {\frac{{1 –…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Derivata av polynom. Variabelsubstitution. Faktorisering av polynom. Ma3.Syfte: Hitta det enklaste(?) sättet att lösa problemet. Elevtips:$ f(x)=(x-a)(x-a-d)(x-a-2d)(x-a-3d) $, naturligtvis går det att multiplicera ihop faktorerna, förenkla, derivera och försöka faktorisera derivatan, men det blir krångliga beräkningar! Knepet är att göra en substitution, så att nollställena i stället blir $ -\frac{3d}{2}, -\frac{d}{2}, \frac{d}{2}, \frac{3d}{2} $.…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Enkel geometri: triangel, omskriven cirkel. MaA, MaB. Fermatpunkten (denna uppgift borde göras först). För tillägget behövs additionsteoremet för cosinus och cosinussatsen. Ma4. Syfte: Se Fermatpunkten. Lösningsförslag inkl elevtips:Vi betecknar omskrivna cirklarnas mittpunkter med MA, MB och MC och skärningspunkten mellan dessa tre cirklarna med P (det är Fermatpunkten), se figur. Sträckan mellan MB och…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma4: trigonometriska ettan, formler för dubbla vinkleln, ev. Kvadratkomplettering (Ma 2)Syfte: att öva trigonometriska formler Lösningsförslag inkl elevtips:Det minsta möjliga värdet för summan $ sin 4v + cos 4v$ kan bestämmas på två olika sätt : med derivatametoden eller med kvadratkomplettering. Vi kompletterar $ sin^{4}v + cos^{4}v $ med $ 2\cdot sin^{2}v \cdot cos^{2}v…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Enbart elementär geometri (likformiga trianglat) behövs. Ma2Syfte: Denna uppgift skall träna upp förmågan att ”se” likformiga objekt och kunna kombinera fakta om dessa till en given utsaga (formel). Lösningsförslag inkl elevtips:1. Trianglarna ”EMB” och ”EFC” är likformiga, alltså gäller $ \dfrac{\left\vert BE\right\vert }{\left\vert EC\right\vert }=\dfrac{\left\vert MB\right\vert }{\left\vert CF\right\vert } $ (1) 2. Trianglarna ”AMN”…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Geometri, Mittpunktsformeln, Medianer, Ma2 Lösningsförslag inkl elevtips:Vi använder vektornotation och skriver exempelvis $\frac{{A + B + C}}{3}$ i stället för $\left( {\frac{{a_1 + b_1 + c_1 }}{3},\frac{{a_2 + b_2 + c_2 }}{3}} \right)$ Det är uppenbart att en median i $T_{n – 1} $ även är median i $T_n $ av vilket följer att…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma3Syfte: Fördjupa förståelsen för begreppen derivata, funktionsvärde, mm. Motivera tangentberäkningar. Peka på olika beräkningsmetoder. Lösningsförslag inkl elevtips:Tangentens ekvation är $f'(a)=\frac{y-f(a)}{x-a} $. Lämpligen löser man denna med avseende på y. Värdet av y ger approximationen till f(x), men endast om x är ”tillräckligt nära” a. För $ \sqrt{96} $ används givetvis a=100. I ett intervall…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Man behöver kunna ”sinus”/”cosinus” för $60^o$ och additionsteoremet för ”sinus”, inga tips behövs. Ma4. Lösningsförslag inkl elevtips: Med beteckningarna enligt figur fås t. ex. $ \frac{b}{x}=sin(\alpha), \frac{a}{x}=sin(\frac{\pi}{3}-\alpha)\Rightarrow\frac{ab}{x}=asin(\alpha)=bsin(\frac{\pi}{3}-\alpha) $ $ \Rightarrow asin(\alpha)=b(sin(\frac{\pi}{3})cos(\alpha)-cos(\frac{\pi}{3})sin(\alpha)) $ $ \Rightarrow asin(\alpha)=b(\frac{\sqrt{3}}{2}cos(\alpha)-\frac{1}{2}sin(\alpha))\Rightarrow(2a+b)sin(\alpha)=\sqrt{3}bcos(\alpha) $ $ \Rightarrow tan(\alpha)=\frac{\sqrt{3}b}{2a+b} $ $\Rightarrow x=\frac{b}{sin(\alpha)}=\frac{b\sqrt{4a^{2}+4ab+4b^{2}}}{\sqrt{3}b}=\frac{2\sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}}{\sqrt{3}} $ $ sin(\alpha) $ fick vi med hjälp av en rätvinklig triangel:…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma2 Lösningsförslag inkl elevtips:Svar: $48,2^o, 65,9^o, 65,9^o$ Steg 1: Rita figur med triangeln ABC där |AC|=|BC| och cirkelns medelpunkt är O. Antag att cirkelns radie är r. Då är |OA|=|OB|=|OC|=r. Steg 2: Antag att mittpunkten på AB är D, och att höjden |CD|=h. Enligt förutsättningarna är då $r=\frac{3}{5}h$, dvs $h=\frac{5}{3}r$. Då är höjden i…
Läs mer
© 2021 MATTESHERPA. Byggt av Matematiska Vetenskaper
