Uppgift [latexpage]En pytagoreisk trippel är tre positiva heltal $a$,$b$ och $c$ där $ a^2+b^2=c^2.$ Exempel på sådana tripplar är $(3,4,5)$, $(5,12,13)$ och $(6,8,10)$. Din uppgift:i) Visa att det inte finns någon pytagoreisk trippel med tre udda tal.ii) Visa att minst ett tal i varje pytagoreisk trippel är delbart med fem.iii) Finns det fler tal än…
Läs mer
Uppgift Det finns en 4 meter hög skärm upphängd på en husvägg vid ett plant vågrätt torg. På vilket avstånd skall du stå för att se det som finns på skärmen så bra som möjligt om skärmens nederkant hänger 9,5 meter över marken om vi antar att du har dina ögon 1,5 meter över marken?
[latexpage]Förkunskaper: Ma2 Lösningsförslag inkl elevtips:Svar: 26,6 grader ( $\tan(2\alpha)=\frac{3}{4}$ ) Rita figur! Steg 1: Antag att längden |AB|=4a. Då är |AE|=2a och |EC|=3a. Steg 2: Pytagoras sats (för triangeln ABC) ger att längden |BC|=3a. Steg 3: Då är triangeln CEB likbent med lika vinklar $\angle CEB=\angle CBE$. Steg 4: Antag att den sökta vinkeln är…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Bara enkel geometri (kongruenta trianglar). Ma2.Syfte: ”Komma på en lösning” Lösningsförslag inkl elevtips:”Hur ser lösningen ut”? Om l är den sökta linjen och d = avståndet från B till l = avståndet från C till l, så fås två kongruenta rätvinkliga trianglar: Rita sträckan CB; ena hörnpunkten är A resp. B, ena kateten har…
Läs mer
Förkunskaper: Ma2Syfte: Att kunna binda samman geometrin och algebran Lösningsförslag inkl elevtips:Från cirklarnas mittpunkt, dra två linjer vinkelrätt mot kvadratens två sidor. Därefter försök att bilda 8 lika stora rätvinkliga trianglar. Nästa steg:Summera upp trianglarnas area plus arean på de två mindre kvadtater.
[latexpage]Förkunskaper: Herons formel samt olikheten mellan aritmetiska och geometriska medelvärden. Ma2. Lösningsförslag inkl elevtips:Vi tänker oss en triangel med sidlängderna a, b och c samt arean T. Vi har att $2p = a + b + c$ Herons formel: $T = \sqrt {p(p – a)(p – b)(p – c)}$. Olikheten mellan aritmetiska och geometriska medelvärden…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma2, vinkelsumma i fyrhörning inskriven i cirkel Lösningsförslag inkl elevtips:Rita förhörningarna ADPF, BEPD och CFPE. De är alla inskriva i cirklar så $\wedge DAF + \wedge DPF = \wedge DBE + \wedge DPE = \wedge ECF + \wedge EPF = 180^{\circ}$. Dessutom ser vi att $\wedge DPF + \wedge EPD + \wedge EPF =…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma2, Ma3, 3-grad, ekvation, polynom, bevis, teknisk färdighet Lösningsförslag inkl elevtips: (a) Substitutionen $ x=t+k $ ger $$ t^3+(3k+a)t^2+(3k^2+2ak+b)t+k^3+ak^2+bk+c=0.$$ Välj $ k=-\frac a3 $ för att få koefficienten framför $ t^2 $ noll. Då blir konstanten och koefficienterna framför $ t $ $$p = b – \frac{a^2}{3}.$$ $$ q=\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c.$$ (b) Sätt $$ \left{ \begin{array}{l}…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma2Syfte: Träna funktionssymbolen f(x), göra en förenkling som påminner om den som förekommer i derivataräkning, lösa enkelt ekvationssystem, se en teleskoperande summa. Lösa ett relativt svårt problem med enkla verktyg. Lösningsförslag inkl elevtips:Tips: Betrakta tredjegradspolynomet $p(x) = x^3 + ax^2+bx+c$ och förenkla uttrycket $p(x+1)-p(x)$. Välj konstanterna a, b och c så att $p(x+1)-p(x) =…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Jämna och udda tal Lösningsförslag inkl elevtips:Lösningsförslag (skrivet för att inte kräva speciella förkunskaper) 1782 är jämnt vilket medför att även $ 1782^{12} $ är jämnt. På samma vis blir $ 1841^{12} $ udda. Summan av ett jämnt och ett udda tal är ett udda tal. Vänster led är alltså ett udda tal. I…
Läs mer
© 2021 MATTESHERPA. Byggt av Matematiska Vetenskaper
