Uppgift [latexpage]En pytagoreisk trippel är tre positiva heltal $a$,$b$ och $c$ där $ a^2+b^2=c^2.$ Exempel på sådana tripplar är $(3,4,5)$, $(5,12,13)$ och $(6,8,10)$. Din uppgift:i) Visa att det inte finns någon pytagoreisk trippel med tre udda tal.ii) Visa att minst ett tal i varje pytagoreisk trippel är delbart med fem.iii) Finns det fler tal än…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma2, Ma3, 3-grad, ekvation, polynom, bevis, teknisk färdighet Lösningsförslag inkl elevtips: (a) Substitutionen $ x=t+k $ ger $$ t^3+(3k+a)t^2+(3k^2+2ak+b)t+k^3+ak^2+bk+c=0.$$ Välj $ k=-\frac a3 $ för att få koefficienten framför $ t^2 $ noll. Då blir konstanten och koefficienterna framför $ t $ $$p = b – \frac{a^2}{3}.$$ $$ q=\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c.$$ (b) Sätt $$ \left{ \begin{array}{l}…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma3 Lösningsförslag inkl elevtips:Lösning: Vi noterar första att det är tillräckligt att visa påståendet för kurvan $y=ax^2$. Det är geometriskt uppenbart att detta är möjligt, vi flyttar hela ”situationen” i sid- och höjdled så att kurvans vertex hamnar i origo. Då blir b=c=0. Låt nu $(x_1, ax_1^2)$ och $(x_2, ax_2^2)$ vara två (olika) punkter…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Derivata av polynom, räta linjens ekvation på enpunktsform, Ma3.Syfte: Att bevisa ett vackert samband mellan tredjegradsekvationers reella rötter. Lösningsförslag inkl elevtips:Tips: Pröva gärna först att påståendet gäller för en vald tredjegradskurva. [För t.ex. y = f(x) = (x-4)(x-2)(x+2) ska tangenten i x = 3 gå genom (-2,0), tangenten i x = 1 gå genom…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma2, Ma3, Ma4. Pytagoras sats, likformiga trianglar, rymdgeometri Lösningsförslag inkl elevtips:Svar: $\frac{a\sqrt{6}}{12}$ Antag att tetraederns hörn är A, B, C och D. Lägg ett plan (PL) genom två hörn (A och D) och tetraederns mittpunkt O. Detta plan skär BC i mittpunkten E. Antag att Q är medelpunkten i triangeln ABC. Då är $|AE|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$,…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma3Syfte: Träna derivatans och andraderivatans betydelse som hastighet. Lösningsförslag inkl elevtips:a) $H'(t)$ är det hastighet med vilken vattenytan i tanken höjs. Eftersom det hela tiden är ett tillflöde måste $H'(t) > 0,$ men dock ej konstant. $V'(t)$ är den hastighet med vilken volym i tanken ökar. Eftersom det, enligt förutsättningarna är ett tillflöde samma…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma3Syfte: Öva problemlösning med trigonometri, speciellt sinussatsen. Lösningsförslag inkl elevtips:Avstånd mellan intilliggande hörn. Medelpunktsvinkeln $c_1$ för radierna i n-hörningen som går igenom två hörn intilliggande hörn är $$ c_1=\frac{2\pi}{n}.$$ Om $d_1$ betecknar avståndet mellan två intilligande hörn säger då sinussatsen att $$\frac{d_1}{\sin{\frac{2\pi}{n}}}=\frac{r}{\sin \alpha}$$ där $c_1+2\alpha =\pi $, dvs $\alpha=\pi (\frac{1}{2}-\frac{1}{n})$. Detta ger då att…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma2, Ma3, Ma4, Ma5 Syfte: Att kunna sammanfatta sina kunskaper utifrån enkla förutsättningar och därefter utföra ett bevis. Lösningsförslag inkl elevtips:i) Notera först att påståendet är ekvivalent med att åtminstone ett tal i trippeln alltid är jämnt, dvs. delbart med $2$. Notera sedan att kvadraten på ett udda tal alltid är udda och kvadraten…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Enkel algebra (bråkräkning); enkel geometri (rektangel). Ma2. Ma3.Syfte: Träna att räkna med bråk och att lösa en kvadratisk ekvation genom att bekanta sig med (lära känna) gyllene snittet (talet ”Φ”). Lösningsförslag inkl elevtips:Börja med att rita upp sträckan med längd $a + b$ och delsträckorna med längd b resp. längd $a, b > a.$…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Algebra, bråk, kvoter, olikhet. Ma1, Ma2, Ma3. Syfte: Jobba med olikhet, olikhet och tecken, olikhet och produkt samt teckentabell Lösningsförslag inkl elevtips:Bilda $ f(x)= $ VL-HL och undersök när $ f(x)\leq 0 $ . Vi får $$ \begin{array}{rl}f(x)=&\frac{2x+3}{3x+2}-\frac{2x+1}{x+2}=\\ =& \frac{(2x+3)(x+2)-(2x+1)(3x+2)}{(3x+2)(x+2)}= \\ =& \frac{ -4x^2+4 }{ (3x+2)(x+2) } = \frac{ -4(x-1)(x+1) }{ 3(x+\frac 23)(x+2) }…
Läs mer
© 2021 MATTESHERPA. Byggt av Matematiska Vetenskaper
