[latexpage]Förkunskaper: Ma3: räkning med rationella uttryckSyfte: att öva algebra Lösningsförslag inkl elevtips:Man kan börja med olikheten $ \frac{1}{k^{2}} < \frac{1}{(k-1)\cdot k} $, $ k = 2,3,…,n $ $ \frac{1}{k^{2}} < \frac{1}{(k-1)\cdot k} = \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k} $ $ \frac{1}{2^{2}}+ \frac{1}{3^{2}}+ … + \frac{1}{n^{2}} < 1 – \frac{1}{2} + \frac{1}{2} – \frac{1}{3} + … + \frac{1}{n – 2}-\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Kartesiska koordinatsystemet (talplanet); Pytagoras; gränsvärde; Ma3Syfte: Uppgiften skall ge förståelse för och träning i att räkna med (handskas med) gränsvärde och detta medelst ett geometriskt åskådligt problem Tips till eleven:Skriv upp avståndet (utan belopp), gränsvärdesproblem av typ ”$ \infty-\infty $” kan ofta behandlas som problem av typ ”$ \frac{\infty}{\infty} $” genom att förlänga med…
Läs mer
[latexpage]Figuren visar en vinkel på 60º med fem inskrivna cirklar. Varje cirkel förutom den första tangerar den föregående cirkeln. Bestäm förhållandet mellan summan av areorna för de fem cirklarna och arean för den minsta cirkeln. Förkunskaper: Ma2: bisektris, area av en cirkel, trigonometri i rätvinkliga trianglar. För att lösa uppgiften med hjälp av begreppet ”geometrisk…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Integralberäkningar. Ma3.Syfte: Att lösa en lite knepigare integraluppgift. Elevtips 1: Välj en godtycklig punkt $P = (z, z^2)$ och beräkna A. Elevtips 2: Pröva att använda de omvända funktionerna $x = f^-1(y)$ för att kunna lösa uppgiften. Lösningsförslag: $ A=\int_{0}^{z}(x^{2}-\frac{x^{2}}{2})dx = \frac{z^{3}}{6} $ För att kunna ta fram ett uttryck för $B$, så ’byter…
Läs mer
[latexpage]Primitiv till Heavisides stegfunktion? Heavisides stegfunktion ”H” definieras av $H(x) = 0 \textrm{ om } x < 0 \textrm{ och } H(x) = 1 \textrm{ om } x \geq 0$. Är det möjligt att bestämma en primitiv funktion till ”H”? Om ja, bestäm en sådan primitiv. Om nej, motivera varför det är omöjligt.
[latexpage]Förkunskaper: Ma3, Ma4.Syfte: Få större insikt om samband mellan derivator och primitiva funktioner. Lösningsförslag inkl elevtips:Vi bestämmer primitiv funktion F i intervallen $x > 0$ och $x<0$ var för sig först. Om $x < 0$ så är F(x)=C där C är någon konstant. Om $x > 0$ så är F(x)=x+D där D är någon konstant.…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma3Syfte: Se sambandet mellan derivata och grad på polynom. Träna problemlösning i allmänhet. Lösningsförslag inkl elevtips: Elevtips: Undersök vilka gradtal som är möjliga. Lösning: Om $p$ är ett polynom av grad $n$ så har $p’$ grad $n-1$ och $p”$ grad $n-2$. Detta stämmer i alla fall om $n$ är minst $2$, vilket vi antar…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma3 för Metod 1: Sinussatsen, cosinussatsen. Ma4 för metod 2: Additionssatsen och subtraktionssatsen.Syfte: Öva triangelsatserna och trigonometriska formlerna. Lösningsförslag inkl elevtips:Metod 1 – med hjälp av sinussatsen och cosisnusatsen $\frac{\sin\alpha}{a\,}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\gamma}{c}=>\frac{\sin\gamma}{\sin\beta}=\frac{c}{b}$ $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\alpha=>2\cos\alpha=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{bc}$ $\frac{c}{b}=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{bc}=>bc^{2}=b(b^{2}+c^{2}-a^{2})=>c^{2}=b^{2}+c^{2}-a^{2}=>$ $b^{2}=a^{2}=>b=a=>$ triangeln är likbent Metod 2 – med hjälp av triangelns vinklar och de trigonometriska formlerna $\sin\gamma=\sin(180-(\beta+\alpha))=\sin(\beta+\alpha)=\sin\beta\cdot\cos\alpha+\cos\beta\cdot\sin\alpha$ $2\sin\beta\cos\alpha=\sin\beta\cos\alpha+\cos\beta\sin\alpha=>\cos\beta\sin\alpha-\sin\beta\cos\alpha=0$ $\sin(\alpha-\beta)=0=>\alpha=\beta=>$ triangeln är likbent
[latexpage]Förkunskaper: Ma3 Lösningsförslag inkl elevtips:Svar: 60 (m) Steg 1: Rita figur med punkterna A,B,C och D. Inför beteckningar a=200 (m), b= 80 (m) och $\alpha=15,1^o, \beta = 31,3^o$. Steg 2: Sätt vinkeln $\angle ADB=\gamma$. Enligt yttervinkelsatsen är då $\gamma=\beta-\alpha=16,2^o$. Steg 3: Sinussatsen för triangeln ABD ger att $\displaystyle \frac{|BD|}{\sin\alpha}=\frac{a-b}{\sin\gamma}\Leftrightarrow |BD|=(a-b)\frac{\sin\alpha}{\sin\gamma}$, dvs $|BD|=120\frac{\sin 15,1^o}{\sin 16,2^o}\approx 112,0…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma4 (3)Syfte: Öva trigonometri. Generalisering av problem. Algebraisk hantering. Lösningsförslag inkl elevtips:Tips: Kolla gärna först AvståndTillHorisonten. Båglängd = radie ⋅ mittpunktsvinkel. Vi löser direkt det generella problemet. Den som önskar göra specialfallen först kan bara substituera värdena för variablerna. Låt som sagt båglängden mellan orterna vara ”b” och personens höjd över vattenytan (ögonen) ”h”.…
Läs mer
© 2021 MATTESHERPA. Byggt av Matematiska Vetenskaper
