Handledning – 1089

Förkunskaper: Positionssystemet (dvs inga särskilda förkunskaper)

Syfte: Träna algebra, bevisföring, fördjupa förståelsen för positionssystemet samt skillnaden mellan ”tal ” och ”siffror”.

Lösningsförslag inkl. elevtips
Elevtips: Antag att talen nr 1 och 2 är 100a+10b+c respektive 100c+10b+a. Antag vidare att 100a+10b+c är det största av dem, så att a>c.
Lösningsförslag: Se elevtips.
Bilda därefter differensen, dvs tal 3: (100a+10b+c) – (100c+10b+a) = 100a-100c+c-a = 100(a-c) + (c-a). Vi märker att tiotalssiffran tycks ha försvunnit, eller snarare blivit noll! Detta är fel; man kan tro att entalssiffran är (c-a), men eftersom a>c så är (c-a) negativt! ”Siffror” kan inte vara negativa i basen tio. För att kunna skriva tal 3 i positionssystemet måste vi alltså låna, så vi lånar 10 tiotal från hundratalssiffran: 100(a-c) + (c-a) = 100(a-c-1) + 1010 + (c-a) = (vi fortsätter och lånar 10 ental från tiotalen) = 100(a-c-1) + 109 + (10 + (c-a)). Vår entals ”siffra” blir alltså (10 + (c-a)). Nu skall vi bilda tal nr 4: 100(10 + (c-a)) + 109 + (a-c-1). Slutligen blir tal 5 summan av tal 3 och tal 4:

100(a-c-1) + 109 + (10 + (c-a)) + 100(10 + (c-a)) + 109 + (a-c-1) = 100(a-c-1+10+c-a) + (109 + 10*9) + (10+(c-a)+(a-c-1) = 900 + 180 + 9 = 1089

Svaret är oberoende av valet av a, b, och c, vilket skulle bevisas.

Av Anders Karlsson