Handledning – Analys Av En Trigonometrisk Ekvation

Handledning – Analys Av En Trigonometrisk Ekvation


Förkunskaper: Ma4, trigonometriska ekvationer
Syfte: Att öva trigonometriska ekvationer

Lösningsförslag inkl elevtips:
En analys av ekvationen visar att (cos 6x - cos 4x)^{2} \leq 4 och 5 - sin 3x \geq 4 vilket innebär att ekvationen har lösningar om och endast om |cos 6x - cos 4x | = 2 och sin3x = 1 samtidigt.
Den sista sinus ekvationen har lösningarna x = \frac{\pi}{6}+ \frac{n\cdot 2\pi}{3}= \frac{\pi (4n +1)}{6}. I så fall är cos 6x = cos 6 \cdot\frac{\pi (4n + 1)}{6} = cos \pi(4n + 1) = -1 vilket medför att cos4x = 1.
cos4x = cos(\frac{2\pi(4n + 1)}{3}) vilket innebär att 4n + 1 skall vara delbart med faktorn 3. 4n +1 är delbart med faktorn 3 om och endast om n = 3k + 2 där k är ett heltal.

Svar : x = \frac{3\pi}{2}+ 2\pi k, k är ett heltal.

Tips till elever:
Den här ekvationen kan man lösa på ett annat sätt än du kanske är van vid. Man behöver inte förenkla eller göra om ekvationen till en annan form. Undersök istället i vilka intervall värdet för (cos 6x - cos 4x)^{2} resp (5 - sin 3x) ligger. Då upptäcker du att det bara finns ett värde då VL = HL. Vilket?
Vad innebär det gemensamma värdet för värdet på sin 3x? Vilka x är möjliga?
Fortsätt med VL. Beräkna cos 6x för de erhållna x-värdena. Vad kan det vara för ett värde på cos 4x? Vilka x är lösningar ?

Av Tatiana Kuzmina