Handledning – Aritmetiskt Och Geometriskt Medelvärde
[latexpage]
Förkunskaper: Ma2, aritmetiskt medelvärde, geometriskt medelvärde (överkurs), andragradsekvationer
Syfte: Att öva algebra
Lösningsförslag inkl elevtips:
$ \frac{a + b}{2}/ \sqrt{ab} = m $
$ \frac{a + b}{\sqrt{a b}}= 2 m $
$ \sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}}- 2 m = 0 $
$ (\sqrt{\frac{a}{b}})^{2} – 2 m \sqrt{\frac{a}{b}}+ 1 = 0 $
$ \sqrt{\frac{a}{b}}= m + \sqrt{m^{2}-1}$ eller $ \sqrt{\frac{a}{b}}= m – \sqrt{m^{2}-1}$
Vi ska visa att en av lösningarna, nämligen $ \sqrt{\frac{a}{b}}= m – \sqrt{m^{2}-1}$ inte satisfierar det givna villkoret $ a > b $.
Om $ a > b $ då $ \sqrt{\frac{a}{b}}> 1 $
I så fall $ m – \sqrt{m^{2}- 1}> 1 $ eller $ m – 1 – \sqrt{m^{2} – 1} > 0 $
$ \sqrt{ (m – 1)^{2} } – \sqrt{ (m – 1)(m + 1) } > 0 $
Faktoriseringen ger $ \sqrt{m – 1}(\sqrt{m – 1}- \sqrt{m + 1}) > 0 $
Men $ \sqrt{m – 1}> 0 $ och $ \sqrt{m – 1} – \sqrt{m + 1} < 0 $, motsägelse.
Då $ \sqrt{\frac{a}{b}}= m + \sqrt{m^{2}-1}$, $ \frac{a}{b}= (m + \sqrt{m^{2}- 1})^{2} $
$ \frac{a}{b}= (m + \sqrt{m^{2}-1})(m + \sqrt{m^{2}-1})\cdot\frac{m – \sqrt{m^{2}- 1}}{m – \sqrt{m^{2}- 1}} = \frac{m +\sqrt{m^{2}-1}}{m – \sqrt{m^{2}- 1}}$ VSB
Tips till elever:
Till två positiva tal $ a $ & $ b $ definieras det geometriska medelvärdet som $ c = \sqrt{a\cdot b $
Ställ upp en formel för förhållandet mellan det aritmetiska medelvärdet av två tal och talens geometriska medelvärde. Gör om den formeln till en andragradsekvation i avseende på $ \sqrt{\frac{a}{b}} $. Lös den erhållna ekvationen.
En av rötterna satisfierar inte villkoret $ a > b $. Vilken rot? Hur kan man motivera detta? Fortsätt med den andra rotten.
Din uppgift är att göra om den formeln till $ \frac{m +\sqrt{m^{2}-1}}{m – \sqrt{m^{2}- 1}} $
