Handledning – Bästa Platsen På Torget

[latexpage]
Förkunskaper: Trigonometriska lösningen: Ma4. Geometriska lösningen: Ma2, randvinkelsatsen

Lösningsförslag inkl elevtips:

Man kan diskutera vad som menas med att se bäst, men låt oss här säga att det är den plats där man ser skärmen under störst vinkel.

Låt det horisontella avståndet från personen till väggen betecknas med $ a $. Eftersom personen antas ha ögonen 1,5 meter över marken hänger skärmens underkant 9,5-1,5=8 meter, och dess överkanten 12 meter, över ögonens höjd över marken.

Trigonomitrisk lösning:

Vi ser att

$ \left{\begin{array}{l} \frac{12}{a}=\tan{(\alpha+\beta)}, \frac{8}{a}=\tan{\beta} \end{array} \right. $

Sätt $ x=\tan{\alpha} $ och lös ut $x$.

$ \displaystyle \tan{(\alpha+\beta)}=\frac{\tan\alpha +\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}=\frac{x+\frac{8}{a}}{1-x\frac{8}{a}} $.

$\displaystyle\begin{array}{l} \frac{12}{a}(1-\frac 8ax)=x+\frac 8a \Leftrightarrow \frac{12}{a}-\frac 8a=\frac{12\cdot 8}{a^2}x+x \Leftrightarrow \frac 4a=(\frac{96}{a^2}+1)x \Leftrightarrow x=\frac{4a}{96+a^2}\end{array} $

Vill nu maximera x som en funktion av a, dvs maximera funktionen $x(a)=\frac{4a}{96+a^2}$. Löser därför

$0=x'(a)=\frac{ 4(96+a^2)-4a2a}{(96+a^2) }\Leftrightarrow 0=4(96+a^2-2a^2)=4(96-a^2)$.

Finner att nollställen är vid $a=\pm \sqrt{96}$ dvs man skall stå ca 9.8 meter från väggen.

Alternativt kan man maximera $x(a)=\frac{4a}{96+a^2}=\frac{4}{96\frac 1a+a}$ genom att minimera nämnaren

$96\frac 1a+a=(\frac{\sqrt{96}}{\sqrt a}-\sqrt a)^2+2\sqrt{96}$

vilket har sitt minimum då kvadraten är noll dvs då $ \frac{\sqrt{96}}{\sqrt a}-\sqrt a = 0$ dvs då $ x=\sqrt{96} $.

Geometrisk lösning:
Betrakta cirklar som passerar genom skärmens över och underkant. För en given sådan cirkel är betraktningsvikeln lika stor var man än är längs cirkeln, enligt randvinkelsatsen. Se bild:

Eftersom större cirklar ger mindre randvinkel gäller det att hitta minsta möjliga cirkel som når ner till betraktarens ögonhöjd. Den cirkeln får då radie 8+2 meter.

Sträckan a blir då en kateter i den rätvinkliga triangeln med diagonal 10 och en annan kateter som är halva skärmens höjd, dvs 2 meter. Vi får alltså sambandet $a^2+2^2=10^2$, vilket då ger att $a=\sqrt{96}\approx 9.8$.

Man observerar också att ju högre upp skärmen hängs, ju mindre blir skillnaden mellan a och cirkelns radie, dvs för skärmar någorlunda högt upp kan man approximativ säga att man vill betrakta skärmens mittpunkt under 45 graders vinkel.