Handledning – Bestäm Polynom F1962-1

Handledning – Bestäm Polynom F1962-1


Förkunskaper: Ma3
Syfte: Se sambandet mellan derivata och grad på polynom. Träna problemlösning i allmänhet.

Lösningsförslag inkl elevtips:

Elevtips: Undersök vilka gradtal som är möjliga.

Lösning: Om p är ett polynom av grad n så har p' grad n-1 och p'' grad n-2. Detta stämmer i alla fall om n är minst 2, vilket vi antar tills vidare. För att likhet ska gälla måste gradtalen vara lika varför

n = (n-1) + (n-2)= 2n-3

Vi löser ekvationen och får att n=3. Alltså måste p vara ett tredjegradspolynom (om n minst 2). Vi sätter

p(x)=ax^3+bx^2+cx+d, a \neq 0

och deriverar detta två gånger;

p'(x) = 3ax^2+2bx+c, p''(x) = 6ax+2b

Insättning i det ursprungliga sambandet ger

a(2x)^3+b(2x)^2+c(2x)+d = (3ax^2+2bx+c) \cdot (6ax+2b)=

=18a^2x^3+18abx^2+(4b^2+6ac)x+2bc.

Identifiering av tredjegradskoefficienten ger

8a=18a^2

a=\frac{4}{9}. På motsvarande sätt, genom att identifiera övriga koefficienter i ordning efter grad, får man att b=c=d=0.

Alltså är p(x) = \frac{4}{9}x^3.

Det återstår att undersöka fallen då p:s gradtal är 0 eller 1. Då är p''(x) = 0,p(2x) och därmed p(x) är identiskt lika med noll.

Nästa steg:
Vad kan sägas om vi tar bort förutsättningen att p ska vara ett polynom?