Handledning – Bestäm Polynom F1962-1
Förkunskaper: Ma3
Syfte: Se sambandet mellan derivata och grad på polynom. Träna problemlösning i allmänhet.
Lösningsförslag inkl elevtips:
Elevtips: Undersök vilka gradtal som är möjliga.
Lösning: Om är ett polynom av grad
så har
grad
och
grad
. Detta stämmer i alla fall om
är minst
, vilket vi antar tills vidare. För att likhet ska gälla måste gradtalen vara lika varför
Vi löser ekvationen och får att . Alltså måste
vara ett tredjegradspolynom (om
minst
). Vi sätter
och deriverar detta två gånger;
Insättning i det ursprungliga sambandet ger
.
Identifiering av tredjegradskoefficienten ger
så . På motsvarande sätt, genom att identifiera övriga koefficienter i ordning efter grad, får man att
.
Alltså är .
Det återstår att undersöka fallen då :s gradtal är
eller
. Då är
så
och därmed
är identiskt lika med noll.
Nästa steg:
Vad kan sägas om vi tar bort förutsättningen att ska vara ett polynom?