Handledning – Bestäm Polynom F1962-1

[latexpage]
Förkunskaper: Ma3
Syfte: Se sambandet mellan derivata och grad på polynom. Träna problemlösning i allmänhet.

Lösningsförslag inkl elevtips:

Elevtips: Undersök vilka gradtal som är möjliga.

Lösning: Om $p$ är ett polynom av grad $n$ så har $p’$ grad $n-1$ och $p”$ grad $n-2$. Detta stämmer i alla fall om $n$ är minst $2$, vilket vi antar tills vidare. För att likhet ska gälla måste gradtalen vara lika varför

$n = (n-1) + (n-2)= 2n-3$

Vi löser ekvationen och får att $n=3$. Alltså måste $p$ vara ett tredjegradspolynom (om $n$ minst $2$). Vi sätter

$p(x)=ax^3+bx^2+cx+d, a \neq 0$

och deriverar detta två gånger;

$p'(x) = 3ax^2+2bx+c, p”(x) = 6ax+2b$

Insättning i det ursprungliga sambandet ger

$a(2x)^3+b(2x)^2+c(2x)+d = (3ax^2+2bx+c) \cdot (6ax+2b)=$

$=18a^2x^3+18abx^2+(4b^2+6ac)x+2bc$.

Identifiering av tredjegradskoefficienten ger

$8a=18a^2$

så $a=\frac{4}{9}$. På motsvarande sätt, genom att identifiera övriga koefficienter i ordning efter grad, får man att $b=c=d=0$.

Alltså är $p(x) = \frac{4}{9}x^3$.

Det återstår att undersöka fallen då $p$:s gradtal är $0$ eller $1$. Då är $p”(x) = 0,$ så $p(2x)$ och därmed $p(x)$ är identiskt lika med noll.

Nästa steg:
Vad kan sägas om vi tar bort förutsättningen att $p$ ska vara ett polynom?