Handledning – Derivera Areaformel

[latexpage]

Förkunskaper: Ma3

Syfte:

Lösningsförslag inkl. elevtips
a) För cirkel $A(r) = \pi r^2 \Rightarrow A'(r) = 2 \pi r = O(r)$. För klot $V(r) = 4 \pi r^3/3 \Rightarrow V'(r) = 4 \pi r^2 = A(r)$. För kvadrat $A(s) = s^2 \Rightarrow A'(s) = 2s \neq 4s = O(s)$.

b) Observera att $ A'(r) = \lim_{\Delta r \to 0} \frac{A(r + \Delta r) – A(r)}{\Delta r}$ och tolka kvoten i högerledet geometriskt (se figur nedan).

Differensen $A(r + \Delta r) – A(r)$ är arean av cirkelremsan med tjocklek $\Delta r$. Notera att $A(r + \Delta r) – A(r) \approx O(r) \Delta r$ om vi tänker oss att cirkelremsan (nästan) kan vecklas ut till en rektangel. I själva verket blir denna approximation ”hur bra som helst” om bara $\Delta r$ är tillräckligt litet, eller med andra ord $\frac{A(r + \Delta r) – A(r)}{\Delta r} \approx O(r)$ och $\lim_{\Delta r \to 0} \frac{A(r + \Delta r) – A(r)}{\Delta r} = O(r)$. Resonemanget är något informellt. Ett första steg till ett bättre resonemang kan vara att ”stänga in” kvoten mellan $O(r)$ och $O(r + \Delta r)$. Resultatet blir dock detsamma.

c), d) Samma angreppssätt som ovan fast med kvadrat ger, med $s$ som kvadratens sida,
$A(s + \Delta s) – A(s) \approx O(s) \cdot \Delta s /2 $. Obsevera att kvadratremsans tjocklek blir $\Delta s /2 $ och inte $\Delta s$! Vi får nu $\lim_{\Delta s \to 0}\frac{A(s + \Delta s) – A(s)}{\Delta s} = O(s)/2$ eller med andra ord $A'(s) = 4s/2 = 2s$.

Nästa steg: Formalisera resonemanget om att approximationen blir godtyckligt bra. Utför motsvarande resonemang för klotformler och kubformler.

Av Roger Bengtsson