Handledning – En Algebraisk Olikhet

[latexpage]

Förkunskaper: Ma1: det aritmetiska medelvärdet, det geometriska medelvärdet (överkurs).

Syfte: Att förstärka förståelse för två olika slags medelvärden, att öva algebra.

Lösningsförslag inkl. elevtips
Vi använder sambandet mellan det aritmetiska och det geometriska medelvärdet tre gånger $ \frac{1}{2}(\frac{bc}{a}+ \frac{ac}{b})\geq \sqrt{\frac{bc}{a}\cdot \frac{ac}{b}}= c $. På samma sätt $ \frac{1}{2}(\frac{ac}{b}+ \frac{ab}{c})\geq a $ och $ \frac{1}{2}(\frac{ab}{c}+ \frac{bc}{a})\geq b $. Sedan adderas olikheterna och påståendet är bevisat.

Tips till elever: Till två positiva tal $ a $ och $ b $ definieras det geometriska medelvärdet som $ \sqrt{a\cdot b} $. Du kan börja denna uppgift med att du bevisar att det aritmetiska medelvärdet till två positiva tal är större än eller lika med det geometriska medelvärdet, d.v.s. $ \frac{a + b}{2}\geq \sqrt{a\cdot b} $. I uppgiften kan du tolka tre termer i vänstra ledet som helheter d.v.s. du kan tolka en term t ex $ \frac{ab}{c} $ som en helhet och försöka tillämpa sambandet mellan det aritmetiska och det geometriska medelvärdet.