Handledning – En Trigonometrisk Summa

[latexpage]
Förkunskaper: Trigonometriska produktformler. Summatecken. Matematik 5
Syfte: Uppnå ökade färdigheter när det gäller trigonometriska formler samt hantering av summor.

Lösningsförslag inkl elevtips:
Sätt $S = \sum\limits_{k = 1}^n {\sin kx} $. Multiplicera med $2\sin \frac{x}{2}$.

Vi använder formeln $\sin u\sin v = \frac{{\cos (u – v)}}{2} – \frac{{\cos (u + v)}}{2}$ samt att $\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {a_{k + 1} – a_k } \right)} = a_{n + 1} – a_1 $

Man får då:

$2\sin \frac{x}{2} \cdot S = \sum\limits_{k = 1}^n {2\sin \frac{x}{2} \cdot \sin kx} = \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\cos \left( {k – \frac{1}{2}} \right)x – \cos \left( {k + \frac{1}{2}} \right)x} \right)} $ = (teleskoperande summa) = $ \cos \frac{ 1 }{ 2 }x – \cos \left( n + \frac{1}{2} \right) x $.

Detta ger

$$ S = \frac{ {\cos \frac{ 1 }{ 2 }x – \cos \left( {n + \frac{ 1 }{ 2 }} \right)x } }{ \sin \frac{ 1 }{ 2 }x } $$

Tips till eleven:
a. Du behöver kunna skriva $\sin u\sin v$ som en summa.

b. Du behöver förstå att för en så kallad teleskopisk summa gäller att

$a_1 – a_2 + a_2 – a_3 + \ldots + a_k – a_{k + 1} + \ldots + a_n – a_{n + 1} = a_1 – a_{n + 1} $