Handledning – En Trigonometrisk Summa

Emilia Ekstrand Handledning Ma5 16 februari, 2023 | 0

Förkunskaper: Trigonometriska produktformler. Summatecken. Matematik 5
Syfte: Uppnå ökade färdigheter när det gäller trigonometriska formler samt hantering av summor.

Lösningsförslag inkl elevtips:
Sätt $S = \sum\limits_{k = 1}^n {\sin kx}$ . Multiplicera med $2\sin \frac{x}{2}$ .

Vi använder formeln $\sin u\sin v = \frac{{\cos (u - v)}}{2} - \frac{{\cos (u + v)}}{2}$ samt att $\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {a_{k + 1} - a_k } \right)} = a_{n + 1} - a_1$

Man får då:

$2\sin \frac{x}{2} \cdot S = \sum\limits_{k = 1}^n {2\sin \frac{x}{2} \cdot \sin kx} = \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\cos \left( {k - \frac{1}{2}} \right)x - \cos \left( {k + \frac{1}{2}} \right)x} \right)}$ = (teleskoperande summa) = $\cos \frac{ 1 }{ 2 }x - \cos \left( n + \frac{1}{2} \right) x$ .