Handledning – En Vinkel MedInskrivna Cirklar

[latexpage]
Figuren visar en vinkel på 60º med fem inskrivna cirklar. Varje cirkel förutom den första tangerar den föregående cirkeln.

Bestäm förhållandet mellan summan av areorna för de fem cirklarna och arean för den minsta cirkeln.

Förkunskaper: Ma2: bisektris, area av en cirkel, trigonometri i rätvinkliga trianglar. För att lösa uppgiften med hjälp av begreppet ”geometrisk talföljd” behövs Ma3
Syfte: Elever övar
– trigonometriska begrepp i rätvinkliga trianglar
– att ställa upp och lösa enkla förstagradsekvationer
– att räkna geometriska summor (Ma3)

Lösningsförslag inkl elevtips:
$ r_{1} $, $ r_{2} $, $ r_{3} $ , $ r_{4} $ och $ r_{5} $ är radierna för de inskrivna cirklarna. Den räta linjen genom cirklarnas medelpunkter är en bisektris till vinkeln AOB.
Triangeln $ {OCO_{1}} $ är en rätvinklig triangel med vinkeln $ {OCO_{1}} $ = 30° vilket medför att hypotenusan $ OO_{1} $ = 2· $ r_{1} $.
Av samma anledningen är $ OO_{2} $ = $ 2\cdot r_{2} $
Å andra sidan är $ OO_{2} $ = $ OO_{1} $ + $ r_{1} $ + $ r_{2} $ eller $ 2\cdot r_{2} =2\cdot r_{1} $ + $ r_{1} $ + $ r_{2} $ vilket medför att $ r_{2} $ = 3· $ r_{1} $.

På samma sätt kan man visa att $ r_{3} $ = 3· $ r_{2} $ , $ r_{4} $ = 3· $ r_{3} $ och $ r_{5} $ = 3· $ r_{4} $.
Radierna $ r_{1} $, $ r_{2} $, $ r_{3} $ , $ r_{4} $ och $ r_{5} $ bildar en geometrisk talföljd med kvoten 3.
Kvadraterna på radierna bildar en geometrisk talföljd med kvoten 9.

Det sökta förhållandet är $ \frac{\pi\cdot(r_{1}^{2}+ r_{2}^{2}+r_{3}^{2}+r_{4}^{2}+r_{5}2)}{\pi\cdot r_{1}^{2}}= 7381 $

Svar: 7381

Tips till elever: Anta att $ r_{1} $ är given. Upptäck ett förhållande mellan hypotenusans längd $ OO_{1} $ och katetens längd $ r_{1} $ i triangeln $ OCO_{1} $. Fortsätt med triangeln $ ODO_{2} $. Uttryck längden $ OO_{2} $ i $ r_{1} $ och $ r_{2} $. Beräkna förhållandet mellan $ r_{2} $ och $ r_{1} $. Bestäm på samma sätt förhållandet mellan $ r_{3} $ och $ r_{2} $ , mellan $ r_{4} $ och $ r_{3} $, mellan $ r_{5} $ och $ r_{4} $ . Bestäm summan av areorna för de fem cirklarna som en funktion av $ r_{1} $ .

Nästa steg:
Lös uppgiften om de fem cirklarna är inskrivna i en godtycklig vinkel, 0 < v < 90°.

Lösningsförslag: $ OO_{1}=\frac{r_{1}}{sin v} $, $ OO_{2}=\frac{r_{2}}{sin v} $, $ OO_{2}=OO_{1}+ r_{1}+ r_{2} $, man löser den sista ekvationen med avseende på $ r_{2} $.

$ r_{2}= r_{1}\cdot\frac{1+sin v}{1-sin v} $, …,$ r_{5}= r_{4}\cdot\frac{1+sin v}{1-sin v} $,

Med hjälp av den geometriska summan fås det sökta förhållandet till

$$ \frac{\pi \cdot r_{1}^{2}\cdot ((\frac{1+sin v}{1-sin v})^{10}-1)}{\pi\cdot r_{1}^{2}\cdot((\frac{1+sin v}{1-sin v})^{2}-1)} = \frac{(\frac{1+sin v}{1-sin v})^{10}- 1}{(\frac{1+sin v}{1-sin v})^{2}- 1}$$ (1)

En extra övning i trigonometri (för elever som läser Ma4)

Uppgift:
Gör om formeln (1) till en funktion av $ cot v $, $ cot v =\frac{cos v}{sin v} $

I så fall behövs fler formler än de formler som finns i skolböcker. Starta med formlerna för sin v ± sin u

$ sin v + sin u = 2\cdot sin\frac{v+u}{2}\cdot cos \frac{v-u}{2}$,

$ sin v – sin u = 2\cdot cos\frac{v+u}{2}\cdot sin \frac{v-u}{2}$,

Visa att

$ 1 + sin v = 2\cdot cos^{2}(45 – \frac{v}{2}) $ (2)

$ 1 – sin v = 2\cdot sin^{2}(45 – \frac{v}{2}) $ (3)

Insättning av (2) och (3) i (1) ger det sökta förhållandet som funktion av cot v,

$ \frac{cot^{20}(45 – \frac{v}{2}) – 1}{cot^{4}(45 – \frac{v}{2}) – 1} $

Tips till elever:
Lösningsstrategin är densamma som för uppgiften med den bestämda vinkeln på 60º. Starta med triangeln $ OCO_{1} $ för att få fram ett förhållande mellan hypotenusan $ OO_{1} $ och kateten $ r_{1} $. Slutformeln blir så klart en funktion av vinkel v.