Handledning – Geometriska Figurer Och Areor

[latexpage]
Förkunskaper: Ma2: Pythagoras sats, begreppen parallelltransversal & likformighet. Ma3: areasatsen
Syfte: att öva geometriska begrepp

Lösningsförslag inkl elevtips:
a) När en kvadrat vrids $ 45° $ kring sitt centrum bildas åtta lika stora rätvinkliga likbenta trianglar. Om en katet i en triangel har längden $ 1 $ l.e. blir hypotenusans längd $ \sqrt{2} $ l.e.

b)

Linjen $ KL $ delar de två sidor $ AB $ och $ BC $ i triangeln $ ABC $ i samma förhållande $ \frac{1}{1+\sqrt{2}} $ vilket innebär att linjerna $ KL $ och $ AC $ är parallella ($ KL $ är en parallelltransversal) .

Linjerna $ MN $ och $ AC $ är parallella av samma anledning, linjerna $ LM $, $ BD $ och $ KN $ är också parallella vilket innebär att fyrhörningen $ KLMN $ är en parallellogram.

Likformigheten ger förhållandet mellan diagonalernas längder i fyrhörningen $ ABCD $ och sidornas längder i parallellogrammen $ KLMN $ , nämligen $ \frac{KL}{AC} = \frac{1+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}= \frac{1}{\sqrt{2}}$ och $ \frac{LM}{BD}= \frac{1+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}= \frac{1}{\sqrt{2}} $.

Arean av fyrhörningen $ ABCD $: $ A_{ABCD}=\frac{AC\cdot BD\cdot sinv}{2} $

$ A_{KLMN}= KL\cdot LM \cdot sinv = \frac{AC}{\sqrt{2}}\cdot\frac{BD}{\sqrt{2}}\cdot sin v = A_{ABCD}$}

V.S.B.

c) När en liksidig triangel vrids $ 60° $ kring sitt centrum bildas sex mindre trianglar. Det är lätt att inse att samtliga trianglar är lika stora och liksidiga. Därför är förhållandet mellan delarnas längder i den ursprungliga triangeln $ 1 : 1 : 1 $.

d)

Linjerna $ DE $ och $ AC $ är parallella, linjerna $ EF $ och $ AB $ är parallella och linjerna $ DF $ och $ BC $ är parallella (se resonemanget i $ b $). Förhållandet mellan delarnas längder i triangeln $ ABC $ är $ 1 : 1 : 1 $ vilket innebär att triangeln $DEF$ är kongruent med triangeln $ ABC $.

Tips till elever:
a) Använd Pythagoras sats.

b) Bevisa att motstående sidor i den nya fyrhörningen är parallella med en diagonal i den ursprunliga fyrhörningen (använd transversalsatsen). Utnyttja likformigheten och bestäm förhållandet mellan diagonalernas längder i fyrhörningen $ ABCD $ och de motstående parallella sidornas längder i parallellogrammen $ KLMN $.

Visa att arean av parallellogrammen är lika med produkten av två närliggande sidor multipliserad med sinus för mellanliggande vinkel.
Visa att arean av en fyrhörning är lika med halva produkten av två diagonaler i fyrhörningen multiplicerad med sinus för mellanliggande vinkel.

c) Bevisa att sidorna i triangeln $DEF$ är parvis parallella med sidorna i triangel $ ABC $.

Bevisa att triangeln $DEF$ är kongruent med triangeln $ ABC $.