Handledning – Halvcirkel På Triangel

[latexpage]
Förkunskaper: MaB

Lösningsförslag inkl elevtips:
Svar: $38,94^o, 70,53^o, 70,53^o$

Steg1: Antag att basen AB har längen |AB|=2r. ( Rita figur )

Steg 2: Antag att skärningspunketerna mellan halvcirkeln och traingelsidorna AC och BC är D respektive E med längderna (enligt förutsättningarna) |AD|=|DC|=a och |BE|=7b, |EC|=2b.

Uppgift: Sök samband mellan a, b och r.

Steg 3: Vinkeln $\angle BDA=90^o=\angle BDC$. Då är trianglarna BAD och BDC kongruenta, och triangeln BAC blir likbent med |AB|=|BC|, dvs $2r=9b$.

Steg 4: Analogt är vinkeln $\angle BEA=90^o=\angle CEA$. Pytagoras sats på trianglarna AEB och CEA ger $|AE|=\sqrt{(2r)^2-(7b)^2}$ resp $|AE|=\sqrt{(2a)^2-(2b)^2}$, dvs $4r^2-49b^2=4a^2-4b^2 \Leftrightarrow 4r^2=4a^2+45b^2$.

Steg 5: Insättning av $2r=9b$ ger $81b^2=4a^2+45b^2$, dvs $36b^2=4a^2$, dvs $a=3b$.

Steg 6: Beräkna vinklarna i triangeln ABC. Tex: Om $\angle BAC=\alpha$ fås $\cos\alpha=\frac{|AD|}{|AC|}=\frac{ a}{2r}=\frac{3b}{9b}=\frac{1}{3}$, dvs $\alpha\approx 70,53^o$. Då är $\angle BCA=\angle BAC=\alpha\approx 70,53^o$ och $\angle CBA=180-2\alpha\approx 38,94^o$.