Handledning – Harmonisk Serie

Handledning – Harmonisk Serie

[latexpage]
Förkunskaper: Ma4
Syfte: Lära sig hur man uppskattar summor med integraler.

Lösningsförslag inkl elevtips:
Förslag 1

Tips: Finn tal $T_n$ som ”kan räknas ut”, som uppfyller $T_n \leq S_n$ och sådana att $T_n \to \infty$

Lösning: För $n=1,2,4,8,16, \ldots, 2^m, \ldots $ gör vi följande uppskattningar,

$S_1 = 1 + 0 \cdot 1/2$

$S_2 = 1 + 1/2= 1+ 1 \cdot 1/2$

$S_4 = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 > 1+1/2+1/4+1/4 =1+1/2+1/2=1+2 \cdot 1/2 $

$\begin{array}{rl} S_8 &= 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 > \\ &> 1+1/2+1/4+1/4+1/8+1/8+1/8+1/8 = \\ &= 1+1/2+1/2+1/2=1+3 \cdot 1/2 \end{array}$

$S_{2^m} = (\textrm{på samma sätt}) > 1 + m \cdot 1/2$

Med $T_n = 1+m \cdot 1/2$ för $n = 2^m$ har vi att $T_n \leq S_n$. Eftersom $T_n \to \infty$ då $m \to \infty$ och eftersom följden $S_n$ är växande måste alltså $S_n \to \infty$ då $n \to \infty$.

Förslag 2

Tips: Uppskatta summan med en integral.
Lösning: Låt $f(x) =1/x$. Observera att $f(x) \leq 1/n$ då $n \leq x \leq n+1$ varför

$\displaystyle \int_{n}^{n+1} f(x)dx \leq 1/n $.

Alltså gäller att

$\displaystyle \int_{1}^{n+1} f(x)dx \leq S_n $.

Integralen kan vi bestämma,

$\displaystyle \int_{1}^{n+1} f(x)dx = \int_{1}^{n+1} \frac{1}{x} dx = [\ln x]1^{n+1} = \ln(n+1)$

och $\ln(n+1) \to \infty$ då $n \to \infty$ varför också $S_n \to \infty$ då $n \to \infty$.

Nästa steg:
Låt $S_n=1-1/2+1/3-1/4+1/5 + \ldots + (-1)^{n-1}1/n$ vara summor med samma termer som ovan fast med alternerande tecken. Vad blir $\lim{n \to \infty} S_n$?