Handledning – Herons Formel
[latexpage]
Förkunskaper: Pythagoras sats, Ma2.
Syfte: Härleda en klassisk geometrisk sats genom att utföra ganska svåra algebraiska manupilationer. Samt att sätta sig in i vad ett symmetriskt uttryck är.
Lösningsförslag inkl elevtips:
Dra höjden mot en sida.
a. Vi har att
$T = \frac{{ch}}{2}$.
Kvadrera. Vi får
$T^2 = \frac{{c^2 h^2 }}{4}$.
b. Använd Pythagoras sats på de två rätvinkliga trianglarna. Med hjälp av ekvationssystemet, som bildas, kan man uttrycka $h^2 $ i a, b och c.
c. Man får
Detta ger
$x = \frac{{c^2 + b^2 – a^2 }}{{2c}}$
$T^2 = \frac{{c^2 h^2 }}{4} = \frac{{c^2 \left( {b^2 – x^2 } \right)}}{4} = \frac{{c^2 \left( {b^2 – \left( {\frac{{c^2 + b^2 – a^2 }}{{2c}}} \right)^2 } \right)}}{4}$
= $\frac{{4b^2 c^2 – \left( {c^2 + b^2 – a^2 } \right)^2 }}{{16}}$ = (konjugatregeln) = $\frac{{\left( {2bc – \left( {c^2 + b^2 – a^2 } \right)} \right)\left( {2bc + \left( {c^2 + b^2 – a^2 } \right)} \right)}}{{16}}$
=$\frac{{\left( {a^2 – \left( {b^2 + c^2 – 2bc} \right)} \right)\left( {\left( {b^2 + c^2 + 2bc} \right) – a^2 } \right)}}{{16}}$
= (kvadreringsregeln)= $\frac{{\left( {a^2 – \left( {b – c} \right)^2 } \right)\left( {\left( {b + c} \right)^2 – a^2 } \right)}}{{16}}$
= $\frac{{\left( {a – \left( {b – c} \right)} \right)\left( {a + \left( {b – c} \right)} \right)\left( {\left( {b + c} \right) – a} \right)\left( {\left( {b + c} \right) + a} \right)}}{{16}}$
= $\frac{{\left( {a + b + c} \right)}}{2} \cdot \frac{{\left( {a – b + c} \right)}}{2} \cdot \frac{{\left( {a + b – c} \right)}}{2} \cdot \frac{{\left( { – a + b + c} \right)}}{2}$
Vi får $T = \sqrt {\frac{{\left( {a + b + c} \right)}}{2} \cdot \frac{{\left( {a – b + c} \right)}}{2} \cdot \frac{{\left( {a + b – c} \right)}}{2} \cdot \frac{{\left( { – a + b + c} \right)}}{2}} $
Om vi sätter
$p = \frac{{a + b + c}}{2}$
får vi
$T = \sqrt {p(p – a)(p – b)(p – c)}$.
Det är uppenbart att detta uttryck ej ändras om a, b och c permuteras.
Denna formel kallas Herons formel.
Tips till eleven:
a. Dra höjden, h, mot en sida samt teckna ett uttryck för $T^2 $.
b. Sidan som står mot den höjd du dragit delas i två delar, exemplevis x och $c – x$.
c. Använd Pythagoras sats på de två rätvinkliga trianglarna.
d. Eliminera x och h.
e. Faktorisera.
Nästa steg:
Sök en formel för en fyrhörning med givna sidor.
