Handledning – Herons Formel

Emilia Ekstrand Handledning Ma2 17 februari, 2023 | 0

Förkunskaper: Pythagoras sats, Ma2.
Syfte: Härleda en klassisk geometrisk sats genom att utföra ganska svåra algebraiska manupilationer. Samt att sätta sig in i vad ett symmetriskt uttryck är.

Lösningsförslag inkl elevtips:
Dra höjden mot en sida.

a. Vi har att

$T = \frac{{ch}}{2}$ .

Kvadrera. Vi får

$T^2 = \frac{{c^2 h^2 }}{4}$ .

b. Använd Pythagoras sats på de två rätvinkliga trianglarna. Med hjälp av ekvationssystemet, som bildas, kan man uttrycka $h^2$ i a, b och c.

c. Man får

Detta ger

$x = \frac{{c^2 + b^2 - a^2 }}{{2c}}$

$T^2 = \frac{{c^2 h^2 }}{4} = \frac{{c^2 \left( {b^2 - x^2 } \right)}}{4} = \frac{{c^2 \left( {b^2 - \left( {\frac{{c^2 + b^2 - a^2 }}{{2c}}} \right)^2 } \right)}}{4}$

= $\frac{{4b^2 c^2 - \left( {c^2 + b^2 - a^2 } \right)^2 }}{{16}}$ = (konjugatregeln) = $\frac{{\left( {2bc - \left( {c^2 + b^2 - a^2 } \right)} \right)\left( {2bc + \left( {c^2 + b^2 - a^2 } \right)} \right)}}{{16}}$

= $\frac{{\left( {a^2 - \left( {b^2 + c^2 - 2bc} \right)} \right)\left( {\left( {b^2 + c^2 + 2bc} \right) - a^2 } \right)}}{{16}}$

= (kvadreringsregeln)= $\frac{{\left( {a^2 - \left( {b - c} \right)^2 } \right)\left( {\left( {b + c} \right)^2 - a^2 } \right)}}{{16}}$

= $\frac{{\left( {a - \left( {b - c} \right)} \right)\left( {a + \left( {b - c} \right)} \right)\left( {\left( {b + c} \right) - a} \right)\left( {\left( {b + c} \right) + a} \right)}}{{16}}$

= $\frac{{\left( {a + b + c} \right)}}{2} \cdot \frac{{\left( {a - b + c} \right)}}{2} \cdot \frac{{\left( {a + b - c} \right)}}{2} \cdot \frac{{\left( { - a + b + c} \right)}}{2}$

Vi får $T = \sqrt {\frac{{\left( {a + b + c} \right)}}{2} \cdot \frac{{\left( {a - b + c} \right)}}{2} \cdot \frac{{\left( {a + b - c} \right)}}{2} \cdot \frac{{\left( { - a + b + c} \right)}}{2}}$