Handledning – Kurvan Som Delar Lika

Emilia Ekstrand Handledning Ma3 16 februari, 2023 | 0

Uppgift

Förkunskaper: Integralberäkningar. Ma3.
Syfte: Att lösa en lite knepigare integraluppgift.

Elevtips 1: Välj en godtycklig punkt $P = (z, z^2)$ och beräkna A.

Elevtips 2: Pröva att använda de omvända funktionerna $x = f^-1(y)$ för att kunna lösa uppgiften.

Lösningsförslag:

$A=\int_{0}^{z}(x^{2}-\frac{x^{2}}{2})dx = \frac{z^{3}}{6}$

För att kunna ta fram ett uttryck för $B$ , så ’byter vi plats’ på x- och y-axel. $C$ motsvaras då av $x=\sqrt{y}$ , $C_2$ motsvaras av $x=g(y)$ och vi får

$B=\int_{0}^{z^{2}}\sqrt{y}dy-\int_{0}^{z^{2}}g(y)dy=\frac{z^{3}}{6} \Rightarrow$

$\int_{0}^{z^{2}}g(y)dy=[\frac{2y^{3/2}}{3}]^{z^{2}}-\frac{z^{3}}{6}=\frac{2z^{3}}{3}-\frac{z^{3}}{6}=\frac{z^{3}}{2}$

Vi antar att det existerar en primitiv funktion G(y), sådan att G'(y) = g(y).

$\int_{0}^{y=z^{2}}G'(y)dy=G(z^{2})-G(0)=\frac{z^{3}}{2} \Rightarrow$

$[y=z^{2}] \Rightarrow G(y)=\frac{y^{3/2}}{2}+G(0) \Rightarrow$

$G'(y)=\frac{3}{4}\sqrt{y}=g(y)=x \Rightarrow y=\frac{16}{9}x^{2}$

En alternativ lösningmetod är att ansätta $g(y)=k\sqrt{y}$ och sedan bestämma k.

Nästa steg: Undersök vad som händer med andra kurvor t.ex. räta linjer genom origo. Antag att två linjer är kända och beräkna ekvationen för den tredje.

Funktioner Integraler

Handledning – Kurvan Som Delar Lika

Handledning – Kurvan Som Delar Lika

Kategori

Ämnesområde

Info

Material

Medverkande

MATTESHERPA