Handledning – Kurvan Som Delar Lika

Handledning – Kurvan Som Delar Lika


Förkunskaper: Integralberäkningar. Ma3.
Syfte: Att lösa en lite knepigare integraluppgift.

Elevtips 1: Välj en godtycklig punkt P = (z, z^2) och beräkna A.

Elevtips 2: Pröva att använda de omvända funktionerna x = f^-1(y) för att kunna lösa uppgiften.

Lösningsförslag:

A=\int_{0}^{z}(x^{2}-\frac{x^{2}}{2})dx = \frac{z^{3}}{6}

För att kunna ta fram ett uttryck för B, så ’byter vi plats’ på x- och y-axel. C motsvaras då av x=\sqrt{y}, C_2 motsvaras av x=g(y) och vi får

B=\int_{0}^{z^{2}}\sqrt{y}dy-\int_{0}^{z^{2}}g(y)dy=\frac{z^{3}}{6} \Rightarrow

\int_{0}^{z^{2}}g(y)dy=[\frac{2y^{3/2}}{3}]^{z^{2}}-\frac{z^{3}}{6}=\frac{2z^{3}}{3}-\frac{z^{3}}{6}=\frac{z^{3}}{2}

Vi antar att det existerar en primitiv funktion G(y), sådan att G'(y) = g(y).

\int_{0}^{y=z^{2}}G'(y)dy=G(z^{2})-G(0)=\frac{z^{3}}{2} \Rightarrow

[y=z^{2}] \Rightarrow G(y)=\frac{y^{3/2}}{2}+G(0) \Rightarrow

G'(y)=\frac{3}{4}\sqrt{y}=g(y)=x \Rightarrow y=\frac{16}{9}x^{2}

En alternativ lösningmetod är att ansätta g(y)=k\sqrt{y} och sedan bestämma k.

Nästa steg: Undersök vad som händer med andra kurvor t.ex. räta linjer genom origo. Antag att två linjer är kända och beräkna ekvationen för den tredje.