Handledning – Lika Areor Med Exponentialfunktionen

[latexpage]
Förkunskaper: Exponentialfunktionen; att kunna integrera; bestämd integral = area; Ma3
Syfte: Att förstå en något abstrakt text (definition av en funktion), kunna ”se” (rita) givna områden och beräkna arean av en punktmängd mellan ”x”-axeln och en kurva; dessutom att kunna hantera ”krångliga” uttryck, räkna med exponentialfunktionen. Vidare en bra gränsvärdesuppgift (derivata, kontinuitet).

Lösningsförslag inkl elevtips:
Rita för något a (t.ex. för $ a=4 $ eller för $ a=\frac{1}{4} $) kurvorna $ y=ae^{x} $ och $ y=e^{ax} $. Beräkna deras skärningspunkt $x_0$. Observera att kurvorna är jämna, det räker alltså att räkna enbart i högra halvplanet. Vi ritar områdena för a = 4 (rött) och för a = 1/4 (blått):

Arean av det begränsade området mellan kurvorna är då
Fall 1: om 0<a<1 (då är $ ae^{x} \leq e^{ax} $ för $ 0 \leq x \leq x_{0} $): $ F(a)=2\int_{0}^{x_{0}}(e^{ax}-ae^{x})dx $

Fall 2: om 1<a (då är $ e^{ax} \leq ae^{x} $ för $ 0 \leq x \leq x_{0} $}): {$ F(a)=2\int_{0}^{x_{0}}(ae^{x}-e^{ax})dx $.

Räkningarna:
Skärningspunkten:
$ e^{ax}=ae^{x}\Leftrightarrow ax= lna+lne^{x} \Leftrightarrow (a-1)x=lna\Leftrightarrow x=\frac{lna}{a-1}$. Sätt $ x_{0}=\frac{lna}{a-1} $.

Fall 1: $ F(a)= 2\int_{0}^{x_{0}}(e^{ax}-ae^{x})dx =2\left[\frac{1}{a}e^{ax}-ae^{x}\right] {0}^{x{0}}= $ $ 2(\frac{1}{a}e^{ax_{0}}-ae^{x_{0}}+a-\frac{1}{a}) $

$ =2(\frac{1}{a}e^{\frac{alna}{a-1}}-ae^{\frac{lna}{a-1}}+a-\frac{1}{a})=2(\frac{1}{a}a^{\frac{a}{a-1}}-aa^{\frac{1}{a-1}}+a-\frac{1}{a})= $

$ =2(a^{\frac{1}{a-1}}-a^{\frac{a}{a-1}}+a-\frac{1}{a}) $ [ty $ e^{blna}=a^{b} $].

Fall 2: ($ a>1 $): $ F(a)= 2\int_{0}^{x_{0}}(ae^{x}-e^{ax})dx =2\left[-\frac{1}{a}e^{ax}+ae^{x}\right] {0}^{x{0}}= $ $ 2( -a^{\frac{1}{a-1}}+a^{\frac{a}{a-1}}-a+\frac{1}{a}) $

[som fall1 men *(-1)].

Om nu $ 0<a<1 $, så är $ b=\frac{1}{a}>1 $ och

$ F(\frac{1}{a})=F(b)=2(-b^{\frac{1}{b-1}}+b^{\frac{b}{b-1}}-b+\frac{1}{b}) =$

$= 2(-(\frac{1}{a})^{\frac{1}{\frac{1}{a}-1}}+(\frac{1}{a})^{\frac{\frac{1}{a}}{\frac{1}{a}-1}}-\frac{1}{a}+a)= $

$ =2(-a^{\frac{a}{a-1}}+a^{\frac{1}{a-1}}-\frac{1}{a}+a)=F(a) $ vsb

Nästa steg:
Visa att

$ F(x) =\left{\begin{array}{c}2(x^{\frac{1}{x-1}}-x^{\frac{x}{x-1}}+x-\frac{1}{x})\text{, då }x<1 \0\text{, då }x=1 \-2(x^{\frac{1}{x-1}}-x^{\frac{x}{x-1}}+x-\frac{1}{x})\text{, då \ }x>1\end{array}\right. $

är kontinuerlig: $ x^{\frac{1}{1-x}}=e^{\frac{lnx}{1-x}}=e^{-\frac{ln(1+x-1)}{x-1}} \text{ går mot } e^{-1} \text{ då } x \text{ går mot 1 ty } $

$ ln(x) \text{ är deriverbar i 1 med } f'(1)=\underset{x\rightarrow 1}{\lim }\frac{ln(x)-ln(1)}{x-1}= \frac{1}{1} $

$ \text{ och } e^{x} \text{ är kontinuerlig;} $

$ x^{\frac{x}{x-1}}=xx^{\frac{1}{x-1}} \text{ går då mot } 1\cdot e \text{ då } x \text{ går mot 1}, $

$ \text{alltså går } F(x) \text{ mot } 0=F(1) \text{ då } x \text{ går mot 1}. $ ’-vsb-