Handledning – Olikhet
Förkunskaper: Ma4
Syfte: Träna algebraiska manipulationer, derivera en kvot, se koppling mellan derivatans tecken och växande/avtagande, repetera defintionen av talet e
Lösningsförslag inkl elevtips:
En praktisk notation är
där vi alltså ska bestämma ? som ett olikhetstecken.
Lösningsförslag 1
Tips:
Logaritmera, stuva om och studera en lämplig funktion med avseende på växande/avtagande.
Lösning:
Fallet n=1 studerar vi separat. Insättning ger direkt att ?=> för n=1.
Låt och logaritmera båda sidorna. Eftersom den naturliga logaritmen
är strängt växande kommer olikheten att bevaras. Vi får
.
Division med n(n-1) ger
.
Med
ser vi att det nu är frågan om att avgöra när växer respektive avtar. Vi deriverar och teckenstuderar;
så är enda nollstället till
. Vi ser också att
växer strängt för
och avtar strängt för
. Vi kan nu dra slutsatsen att ?=> för
och ? = < för
. För
ger insättning att ?=>.
Lösningsförslag 2
Tips:
Skriv om och använd en gränsvärdesdefinition av talet e.
Lösning:
Fallet behandlas separat precis som i lösningen ovan.
Vi låter alltså och delar med
så
Vi skriver om vänsterledet som
och minns att talföljden ovan växer mot gränsvärdet då
. Alltså är ? = < för
. Genom insättning verifierar man att ? = > för
.