Handledning – Olikhet

Handledning – Olikhet


Förkunskaper: Ma4
Syfte: Träna algebraiska manipulationer, derivera en kvot, se koppling mellan derivatans tecken och växande/avtagande, repetera defintionen av talet e

Lösningsförslag inkl elevtips:
En praktisk notation är

n^{n-1} ? (n-1)^n

där vi alltså ska bestämma ? som ett olikhetstecken.

Lösningsförslag 1

Tips:
Logaritmera, stuva om och studera en lämplig funktion med avseende på växande/avtagande.

Lösning:
Fallet n=1 studerar vi separat. Insättning ger direkt att ?=> för n=1.

Låt n \geq 2 och logaritmera båda sidorna. Eftersom den naturliga logaritmen \ln är strängt växande kommer olikheten att bevaras. Vi får

(n-1) \ln n ? n \ln (n-1).

Division med n(n-1) ger

\frac{\ln n}{n} ? \frac{ln(n-1)}{n-1}.

Med

f(x) = \frac{\ln x}{x}

ser vi att det nu är frågan om att avgöra när f växer respektive avtar. Vi deriverar och teckenstuderar;

f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}

x=e är enda nollstället till f'. Vi ser också att f växer strängt för x \leq e och avtar strängt för x \geq e. Vi kan nu dra slutsatsen att ?=> för n \leq 2 och ? = < för n \geq 4. För n=3 ger insättning att ?=>.

Lösningsförslag 2

Tips:
Skriv om och använd en gränsvärdesdefinition av talet e.

Lösning:
Fallet n=1 behandlas separat precis som i lösningen ovan.

Vi låter alltså n \geq 2 och delar med (n-1)^{n-1}

(\frac{n}{n-1})^{n-1} ? n-1

Vi skriver om vänsterledet som

(1+\frac{1}{n-1})^{n-1}

och minns att talföljden ovan växer mot gränsvärdet e \approx 2,72n \to \infty. Alltså är ? = < för n \geq 4. Genom insättning verifierar man att ? = > för n \leq 3.