Handledning – Olikhet

[latexpage]
Förkunskaper: Ma4
Syfte: Träna algebraiska manipulationer, derivera en kvot, se koppling mellan derivatans tecken och växande/avtagande, repetera defintionen av talet e

Lösningsförslag inkl elevtips:
En praktisk notation är

$n^{n-1} ? (n-1)^n$

där vi alltså ska bestämma ? som ett olikhetstecken.

Lösningsförslag 1

Tips:
Logaritmera, stuva om och studera en lämplig funktion med avseende på växande/avtagande.

Lösning:
Fallet n=1 studerar vi separat. Insättning ger direkt att ?=> för n=1.

Låt $n \geq 2$ och logaritmera båda sidorna. Eftersom den naturliga logaritmen $\ln$ är strängt växande kommer olikheten att bevaras. Vi får

$(n-1) \ln n ? n \ln (n-1)$.

Division med n(n-1) ger

$\frac{\ln n}{n} ? \frac{ln(n-1)}{n-1}$.

Med

$f(x) = \frac{\ln x}{x}$

ser vi att det nu är frågan om att avgöra när $f$ växer respektive avtar. Vi deriverar och teckenstuderar;

$f'(x) = \frac{1 – \ln x}{x^2}$

så $x=e$ är enda nollstället till $f’$. Vi ser också att $f$ växer strängt för $x \leq e$ och avtar strängt för $x \geq e$. Vi kan nu dra slutsatsen att ?=> för $n \leq 2$ och ? = < för $n \geq 4$. För $n=3$ ger insättning att ?=>.

Lösningsförslag 2

Tips:
Skriv om och använd en gränsvärdesdefinition av talet e.

Lösning:
Fallet $n=1$ behandlas separat precis som i lösningen ovan.

Vi låter alltså $n \geq 2$ och delar med $(n-1)^{n-1}$ så

$(\frac{n}{n-1})^{n-1} ? n-1$

Vi skriver om vänsterledet som

$(1+\frac{1}{n-1})^{n-1}$

och minns att talföljden ovan växer mot gränsvärdet $e \approx 2,72$ då $ n \to \infty$. Alltså är ? = < för $n \geq 4$. Genom insättning verifierar man att ? = > för $n \leq 3$.