Handledning – Överlagring Av Tre Sinussvängningar
[latexpage]
Förkunskaper: Trigonometriska funktioner, faktoruppdelning av polynom, derivata. Ma4
Syfte: Att träna att tillämpa derivatan för att konstruera kurvor; dessutom träning att räkna med trigonometriska funktioner.
Lösningsförslag inkl elevtips:
Tips: observera att funktionen $ f(x)=sin(x)+\frac{1}{2}sin(2x)+\frac{1}{3}sin(3x) $ har perioden $ 2\pi $ och är udda ($ f(-x)=-f(x) $), det räcker alltså att konstruera kurvan för, säg, $ 0<x<\pi $; derivatan ger sedan information om var f är växande resp. avtagande (och därmed om extrempunkter).
Räkningen: utnyttja
$ cos(u+v)=cos(u)cos(v)-sin(u)sin(v), $ $ cos(2x)=cos^{2}(x)-sin^{2}(x)=2cos^{2}(x)-1 $ $ \text{och } sin(2x)=2sin(x)cos(x) $:
$ f'(x)=cos(x)+cos(2x)+cos(3x) $=$ cos(x)+2cos^{2}(x)-1+cos(2x)cos(x)-sin(2x)sin(x)= $
$ = cos(x)+2cos^{2}(x)-1+2cos^{3}(x)-cos(x)-2sin^{2}(x)cos(x)= $
$ = 2cos^{2}(x)-1+2cos^{3}(x)-2(1-cos^{2}(x))cos(x)= $
$ =4cos^{3}(x)+2cos^{2}(x)-2cos(x)-1= $
$ =4(cos(x)+\frac{1}{2})(cos(x)+\frac{1}{\sqrt{2}})(cos(x)-\frac{1}{\sqrt{2}}) $.
Det sista fås genom att sätta $ cos(x)=z $ och betrakta polynomet $ p(z)=4z^{3}+2z^{2}-2z-1= $
$ [\text{gissa en rot } z_{0}=\frac{1}{2}]=(2z+1)(2z^{2}-1) $.
Gör nu en teckentabell för de tre faktorerna (brytpunkterna är $ \frac{\pi}{4},\frac{2\pi}{3},\frac{3\pi}{4} $, så ser du att
$ f’>0 \text{ för } 0<x<\frac{\pi}{4} \text{ alltså }f \text{ växande där } $
$ f'<0 \text{ för } \frac{\pi}{4}<x<\frac{2\pi}{3} \text{ alltså }f \text{ avtagande där } $
$ f’>0 \text{ för } \frac{2\pi}{3}<x<\frac{3\pi}{4}\text{ alltså }f \text{ växande där } $
$ f'<0 \text{ för } \frac{3\pi}{4}<x<\pi \text{ alltså }f \text{ avtagande där } $.
Det ger även f:s extrempunkter:
miximipunkter i $ \frac{\pi}{4} +2k\pi$ och $ \frac{3\pi}{4} +2k\pi$, minimipunkter i $ \frac{2\pi}{3} +2k\pi$ och $ \frac{5\pi}{3} +2k\pi$.
Så ser grafen ut:
Nästa steg:
Räkna samma uppgift med cosinus:
Rita funktionskurvan $ y=cos(x)+\frac{1}{2}cos(2x)+\frac{1}{3}cos(3x) $, det är enklare (man kan bryta ut faktor $ sin(x)cos(x) $ ur derivatan…, nu har vi en jämn funktion som ser ut så här:
