Handledning – Phi

[latexpage]
Förkunskaper: Enkel algebra (bråkräkning); enkel geometri (rektangel). Ma2. Ma3.
Syfte: Träna att räkna med bråk och att lösa en kvadratisk ekvation genom att bekanta sig med (lära känna) gyllene snittet (talet ”Φ”).

Lösningsförslag inkl elevtips:
Börja med att rita upp sträckan med längd $a + b$ och delsträckorna med längd b resp. längd $a, b > a.$

Första likheten $ \frac{a+b}{b}=\frac{b}{a} $ säger: förhållandet mellan sträckan med längd $a + b$ till sträckan med längd $b$ är samma som förhållandet mellan sträckan med längd b till sträckan med längd $a,$ eller kort: hela sträckan $a + b$ förhåller sig till den längre delsträckan $b$ som den längre delsträckan till den kortare delsträckan $a$;

den andra likheten $ \frac{a}{b-a}=\frac{b}{a} $ säger: (den längre) sträckan b förhåller sig till (den kortare) sträckan a som a till $b – a$ ($b – a$ då kortare än $a$);

den tredje likheten $b^2 – a^2 = a \cdot b$ kan tolkas med rektanglar med sidorna $a, b$ och arean $a \cdot b,$ resp. sidorna $b – a$ och $b + a$ och arean $(b – a) \cdot (b + a),$ eller differensen av arean av kvadraterna med sidorna a resp. $b$:

Många fler intressanta samband (tolkningar) kan upptäckas, t.ex. har den skuggade rektangeln lika stor area som kvadraten med sidan a: $b \cdot (b – a) = a^2$

Räkningarna:
1. Det är ett exempel på ”lös en kvadratisk ekvation”:

$ \frac{a+b}{b}=\frac{b}{a}\iff $ $ \frac{a}{b}+1=\frac{b}{a} $ $ \underset{ \text{multiplicera med }\frac{b}{a}}{\iff }1+\frac{b}{a}=\left( \frac{b}{a}\right)^{2}\iff\left(\frac{b}{a}-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4} $ $ \iff\frac{b}{a}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\Phi $

$ (\ -\ \text{går inte ty } \frac{b}{a}>0) $.

Analogt fås de övriga påståenden:

$ \frac{a}{b-a}=\frac{b}{a}\iff a^{2}=b^{2}-ab\underset{\text{dela med }a^{2}}{\iff }1=\left( \frac{b}{a}\right) ^{2}-\frac{b}{a} $

som ovan.

2. Det är exempel på bråkräkning och konjugatregeln $ x^{2}-y^{2}=\left( x+y\right) \left( x-y\right) $:

$ \phi \varphi =\frac{1}{4}\left( \sqrt{5}+1\right) \left( \sqrt{5}-1\right)=1. $

$ \frac{1}{\phi }=\frac{2}{1+\sqrt{5}}=\frac{2\left(\sqrt{5}-1\right)}{\left(\sqrt{5}+1\right)\left(\sqrt{5}-1\right)}= \frac{2\left(\sqrt{5}-1\right)}{4}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\varphi= $ $ \frac{\sqrt{5}+1-2}{2}=\phi-1 $.

På samma sätt fås $ \frac{1}{\varphi }=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{2\left(\sqrt{5}+1\right)}{\left(\sqrt{5}-1\right)\left(\sqrt{5}+1\right)}= \frac{\sqrt{5}+1}{2}=\phi=\frac{\sqrt{5}-1+2}{2}= $ $ \varphi+1\underset{\phi \varphi =1}{=}\frac{1}{\phi }+1 $.

Nästa steg:
Kan du räkna med geometriska serier så kan du visa följande intressanta formler:

$ \sum\limits_{k=0}^{\infty }\varphi ^{k}=\frac{1}{1-\varphi}=\frac{1}{\varphi^{2}},~~\sum\limits_{k=0}^{\infty }k\varphi ^{k}=\frac{\varphi}{\left( 1-\varphi \right) ^{2}}=\frac{\varphi }{\varphi^{4}}=\frac{1}{\varphi ^{3}}, $ $ \sum\limits_{k=0}^{\infty }k^{2}\varphi^{k}=\frac{\varphi\left( 1+\varphi \right)}{\left( 1-\varphi\right)^{3}}=\frac{1}{\varphi^{6}}. $