Handledning – Regelbundna N-hörningar

[latexpage]
Förkunskaper: Ma3
Syfte: Öva problemlösning med trigonometri, speciellt sinussatsen.

Lösningsförslag inkl elevtips:
Avstånd mellan intilliggande hörn.

Medelpunktsvinkeln $c_1$ för radierna i n-hörningen som går igenom två hörn intilliggande hörn är

$$ c_1=\frac{2\pi}{n}.$$

Om $d_1$ betecknar avståndet mellan två intilligande hörn säger då sinussatsen att

$$\frac{d_1}{\sin{\frac{2\pi}{n}}}=\frac{r}{\sin \alpha}$$

där $c_1+2\alpha =\pi $, dvs $\alpha=\pi (\frac{1}{2}-\frac{1}{n})$. Detta ger då att

$$ d_1=r\frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{\sin \alpha }=r\frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{\sin(\pi(\frac{1}{2}-\frac{1}{n}))}$$

Avstånd mellan godtyckliga hörn.

Medelpunktsvinkeln för radierna i cirkeln som går igenom två hörn A och B på n-hörningen är

$$ c_k=k\frac{2\pi}{n},$$

där $k$ är antalet kanter mellan A och B.

Betrakta den cirkel som omskriver en regelbunden n-hörning med radie $r$. Randvinkeln blir då enligt randvinkelsatsen halva medelpunktsvinkeln, dvs

$$ p_k=k\frac{\pi}{n}.$$

Låt $d_k$ beteckna avståndet mellan två hörn med $k$ kanter emellan. Då ger sinussatsen att

$$\frac{d_k}{\sin p_k}=\frac{d_1}{\sin p_1}. $$

dvs

$$ \begin{array}{l} d_k = d_1\frac{\sin p_k}{\sin p_1} = d_1\frac {\sin(k\frac{\pi}{n} )}{\sin\frac{\pi}{n}}= r\frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{\sin(\pi(\frac{1}{2}-\frac{1}{n}))}\cdot\frac {\sin(k\frac{\pi}{n} )}{\sin\frac{\pi}{n}}=\\ = r\frac{\cos\frac{\pi}{n}\sin(k\frac{\pi}{n} )}{\sin(\pi(\frac{1}{2}-\frac{1}{n}))} \end{array}$$

Ytterligare förenkling är säkert möjligt.