Handledning – Sats Av Viviani

[latexpage]
Förkunskaper: Här krävs inget utöver elementär geometri (arean av en triangel); man inser lösningen direkt om man ställer upp en ”areabalans”. Ma1

Lösningsförslag inkl elevtips:

Elevtips: Dela upp triangeln och skriv sedan triangelarean på två olika sätt.

Lösning: Hela triangelns area är lika med summan av de tre deltrianglarna $APB, CPB$ och $APC$ med höjderna $h_1, h_2$ och $h_3$.

Sätt triangelns sidolängd $|AB| = |AC| = |BC| = s$ och triangelns höjd $= h,$ då är triangelarean

$\frac{1}{2} sh = \frac{1}{2} sh_1 +\frac{1}{2} sh_2 + \frac{1}{2} sh_3 = \frac{1}{2} s(h_1 + h_2 + h_3),$

alltså $h = h_1 + h_2 + h_3.$

Välj speciellt $P$ = triangelns mittpunkt (skärningspunkten av höjderna = den inskriva cirkelns medelpunkt), så får du $h = 3r$ (där $r$ = den inskrivna cirkelns radie).

Nästa steg:
Lös nu uppgiften Sex Trianglar I En Liksidig Triangel