Handledning – Sats Av Viviani

Handledning – Sats Av Viviani


Förkunskaper: Här krävs inget utöver elementär geometri (arean av en triangel); man inser lösningen direkt om man ställer upp en ”areabalans”. Ma1

Lösningsförslag inkl elevtips:

Viviani

Elevtips: Dela upp triangeln och skriv sedan triangelarean på två olika sätt.

Lösning: Hela triangelns area är lika med summan av de tre deltrianglarna APB, CPB och APC med höjderna h_1, h_2 och h_3.

Sätt triangelns sidolängd |AB| = |AC| = |BC| = s och triangelns höjd = h, då är triangelarean

\frac{1}{2} sh = \frac{1}{2} sh_1 +\frac{1}{2} sh_2 + \frac{1}{2} sh_3 = \frac{1}{2} s(h_1 + h_2 + h_3),

alltså h = h_1 + h_2 + h_3.

Välj speciellt P = triangelns mittpunkt (skärningspunkten av höjderna = den inskriva cirkelns medelpunkt), så får du h = 3r (där r = den inskrivna cirkelns radie).

Viviani för mittpunkten

Nästa steg:
Lös nu uppgiften Sex Trianglar I En Liksidig Triangel