Handledning – Sfärisk Vattentank
Förkunskaper: Ma3
Syfte: Träna derivatans och andraderivatans betydelse som hastighet.
Lösningsförslag inkl elevtips:
a) är det hastighet med vilken vattenytan i tanken höjs. Eftersom det hela tiden är ett tillflöde måste
men dock ej konstant.
är den hastighet med vilken volym i tanken ökar. Eftersom det, enligt förutsättningarna är ett tillflöde samma volymenhet/tidsenhet hela tiden så måste
och dessutom vara konstant.
b) Vi konstaterade i a) att är konstant. Alltså måste
.
c) Eftersom är konstant kommer
i varje ögonblick att vara omvänt proportionell mot vattenytans area. Det betyder således att
avtar fram till den tidpunkt då tanken är halvfull för att därefter växa. För
innebär det att
för tidpunkter innan tanken är halvfull,
precis då tanken är halvfull och
för tidpunkter efter att tanken är halvfull.
Nästa steg:
Skissa graferna till de olika funktionerna.
Bestäm algebraiska uttryck för de olika funktionerna.