Handledning – Snitt Mellan Två Kvadrater

Handledning – Snitt Mellan Två Kvadrater


Förkunskaper: Ma4
Syfte: Problemlösning inom geometri mha grundläggande trigonometri.

Lösningsförslag inkl elevtips:
Svar: Finns flera förenklade svar, tex \tan(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}), \frac{\cos \theta}{1+\sin \theta} eller \frac{1-\sin\theta}{\cos\theta}, vilka alla är ekvivalenta.

Steg 1: Rita figuren!
Antag att kvadratens nya hörn är A', B', C' och O.
Här ligger A' och C' på en cirkel kring O med radien 1, ( så att A'B' och C'B' är tangenter i A' resp C') och B' ligger på en cirkel kring O med radien \sqrt 2.

Steg 2:
Antag att P är skärningspunkten mellan BC och B'A'. Sökt area är då arean av området OA'PC. Av symmetriskäl är trianglarna \triangle OA'P och \triangle OCP kongruenta så den sökta arean = 2(arean av \triangle OCP.)

Steg 3:
Metod 1: Vinklarna \wedge B'OP=\wedge POB=\frac{\theta}{2}, ty \wedge B'OB =\theta.

Då är vinklarna \wedge POA'=\wedge COP=(\wedge COB')+(\wedge B'OP)= (\frac{\pi}{4}-\theta)+\frac{\theta}{2}=\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}.

Sökt area = 2|\triangle OPC|=2\frac{|OC|\cdot|CP|}{2}=\tan(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2})

Metod 2: Hörnet A' har koordinaterna (\cos\theta,\sin\theta).
Linjen A'P har riktiningskoefficient k=-\frac{\cos\theta}{\sin\theta} ( ty OA' har riktningskoefficient \frac{\sin\theta}{\cos\theta}). Ekvationen för linjen A'P blir då y-\sin\theta=-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}(x-\cos\theta). Punkten P har y-koordinaten 1 och då finner vi att dess x-koordinat ges av:

    \[\begin{array}{l} x=\cos\theta+\frac{\sin\theta(\sin\theta-1)}{\cos\theta} =\frac{\cos^2\theta+\sin^2\theta-\sin\theta}{\cos\theta} =\frac{1-\sin\theta}{\cos\theta}=\\ =\frac{1-\sin^2\theta}{\cos\theta(1+\sin\theta)}=\frac{\cos^2\theta}{\cos\theta(1+\sin\theta)} =\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta} \end{array}\]

varför sökt area =2\frac{|OC||CP|}{2}=\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta}.

Kontroll:

    \[\tan(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2})= \frac{\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2})}{\cos(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2})}= \frac{\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\theta}{2}-\cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{\theta}{2}} {\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\theta}{2}+\sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\theta}{2}}= \frac{\cos\frac{\theta}{2}-\sin\frac{\theta}{2}}{\cos\frac{\theta}{2}+\sin\frac{\theta}{2}}\]

Vilket efter förläng med \cos\frac{\theta}{2}+\sin\frac{\theta}{2} ger

    \[\frac{\cos^2\frac{\theta}{2}-\sin^2\frac{\theta}{2}}{\cos^2\frac{\theta}{2}+\sin^2\frac{\theta}{2}+2\cos\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}} =\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta}\]