Handledning – Summa Av Kvadrater

Handledning – Summa Av Kvadrater

   Handledning Ma2    20 februari, 2023  |  0


Förkunskaper: Ma2
Syfte: Träna funktionssymbolen f(x), göra en förenkling som påminner om den som förekommer i derivataräkning, lösa enkelt ekvationssystem, se en teleskoperande summa. Lösa ett relativt svårt problem med enkla verktyg.

Lösningsförslag inkl elevtips:
Tips: Betrakta tredjegradspolynomet p(x) = x^3 + ax^2+bx+c och förenkla uttrycket p(x+1)-p(x). Välj konstanterna a, b och c så att p(x+1)-p(x) = 3x^2 och så att p(1)=0. Observera nu att

p(2) = p(2)-p(1) = 3 \cdot 1^2

p(3)-p(2)=3 \cdot 2^2

p(4)-p(3) = 3 \cdot 3^2

osv

p(101)-p(100) = 3 \cdot 100^2

och i allmänhet

p(n+1)-p(n) = 3 \cdot n^2

där kvadrattalen finns i högerleden. Summera dessa och undersök vad som blir kvar i vänsterledet.

Lösning: Vi väljer p som i tipset och får

    \[p(x+1) - p(x) = (x+1)^3+a(x+1)^2+b(x+1)+c-x^3-ax^2-bx-c = 3x^2+(3+2a)x+a+b+1.\]

För att detta ska bli 3x^2 och p(1)=0 väljer vi a=-3/2, b=1/2 och c=0. Vi har nu

    \[p(n+1)-p(n) = 3 \cdot n^2\]

och

    \[3(1^2+ \cdots + n^2) = (p(n+1)-p(n)) + (p(n) - p(n-1))+ \cdots + (p(2) - p(1)) = p(n+1).\]

Vi dividerar med 3 och får ett uttryck för summan av de n första kvadrattalen, nämligen

    \[p(n+1)/3=(2(n+1)^3-3(n+1)^2 +(n+1))/6.\]

Detta uttryck kan faktoriseras som

    \[n(n+1)(2n+1)/6.\]

Nästa steg:
Skulle du kunna använda samma teknik för att beräkna summan

    \[S = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + 100^3 = 1+8+27+\ldots + 1000000 ?\]

 

  • Kategori

  • Ämnesområde

Info

Material

Medverkande

©  2023 MATTESHERPA. Byggt med WordPress och temat Mesmerize

             ©  2021 MATTESHERPA. Byggt av Matematiska Vetenskaper