Handledning – Tangensformel För Trianglar

[latexpage]
Förkunskaper: Ma4, triangelns vinkelsumma, additionsformler för trigonometriska funktioner.
Syfte: Problemlösning med träning av teknisk färdighet av trigonometriska beräkningar.

Lösningsförslag inkl elevtips:
Steg 1: I en triangel är $A+B+C=\pi$, dvs $C=\pi-A-B$. Då är

$ \displaystyle \begin{array}{rl} \tan C=& \\ =& \tan(\pi-A-B) \\ =& \frac{\sin(\pi-A-B)}{\cos(\pi-A-B)} \\ =& \frac{\sin(A+B)}{-\cos(A+B)} \\ =& -\frac{\sin A\cos B+\cos A\sin B}{\cos A\cos B-\sin A\sin B} \\ =& -\frac{cos A\cos B(\tan A+\tan B)}{\cos A\cos B(1-tan A\tan B)} \\ =& \frac{\tan A+\tan B}{\tan A\tan B-1}\end{array}$

Steg 2: Bilda

$ \begin{array}{rl} VL =& \tan A+\tan B+\tan C \\ =& \tan A+\tan B+\frac{\tan A+\tan B}{\tan A\tan B-1} \text{ (enligt Steg 1 ovan) } \\ =& (\tan A+\tan B)(1+\frac{1}{\tan A\tan B-1}) \\ =& \frac{(\tan A+\tan B)(\tan A\tan B-1+1)}{\tan A\tan B-1} \\ =& \frac{(\tan A+\tan B)(\tan A\tan B)}{\tan A\tan B-1} \\ =& \tan C\tan A \tan B \nonumber \text{ (enligt Steg 1 ovan, igen) } \\ =& HL \end{array}$